Задание 14 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 13

В правильной четырёхугольной призме $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ на ребре $\mathit{A}\mathit{D}$ взята точка $\mathit{F}$ так, что $\mathit{A}\mathit{F}:\mathit{F}\mathit{D}=1:3$.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки ${\mathit{B}}_1$ и $\mathit{F}$ пара…

В основании прямой призмы $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$ лежит ромб $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ с диагоналями $\mathit{A}\mathit{C}=10$ и $\mathit{B}\mathit{D}=24$.

а) Докажите, что прямые ${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}_1$ и $\mathit{A}{\mathit{C}}_1$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямы…

В основании пирамиды $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ лежит правильный треугольник $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$. Все боковые рёбра наклонены к основанию под одним и тем же углом.

а) Докажите, что $\mathit{A}\mathit{B}\perp \mathit{C}\mathit{D}$.

б) Найдите расстояние между …

Основание $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ правильной треугольной пирамиды $\mathit{D}\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}$ вписано в основание конуса с вершиной $\mathit{S}$, а вершина $\mathit{D}$ пирамиды расположена на высоте $\mathit{S}\mathit{O}$ конуса. Объём конуса равен $36\mathit{\pi }$, объём пира…