Задачи на квадратной решетке
Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:
- Первый способ
1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.
2. Найти площадь прямоугольника.
3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).
4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.
Пример:
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.
Решение:
1. Достроим параллелограмм до прямоугольника
2. Найдем длину и ширину прямоугольника:
Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.
Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_{OEFK}= 11·7=77$.
3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:
$S_{∆BAE}=S_{∆CKD}={BE·AE}/{2}={4·(7-5)}/{2}={4·2}/{2}=4$
$S_{∆BFC}=S_{∆AOD}={AO·OD}/{2}={5·7}/{2}=17.5$
4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.
$S=S_{OEFK}-2S_{∆ВAE}-2S_{∆BFC}=77-2·4-2·17.5=34$
Ответ: $34$
- Второй способ
1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.
2. Подставляем известные значения в формулу площади.
- Третий способ.
Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:
$S={Г}/{2}+В-1$, где $Г$ - количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);
$В$ - количество узлов внутри фигуры.
Узел – это уголок клетки или пересечение линий
Пример:
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение:
Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).
$Г=7; В=6$
Подставим данные в формулу Пика: $S={7}/{2}+6-1=3.5+6-1=8.5$
Ответ: 8.5
Площади некоторых фигур
Площадь треугольника:
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
- Для равностороннего треугольника $S={a^{2}√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
Площади четырехугольников:
- Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
- Ромб $S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
- Трапеция $S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
- Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$.
Площадь круга:
$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ - радиус окружности.
Площадь сектора:
$S={S_{круга}n°}/{360}={πR^2 n°}/{360}$, где $n°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.
Площадь кольца:
$S_{кольца}=S_{\text"внешнего круга"}-S_{\text"внутреннего круга"}=πR^2-πr^2=π(R^2-r^2)$
В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.
$R={d}/{2}$
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.
$R={c}/{2}$
Углы в окружности.
1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.
$∠О=∪BmA$
2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается
$∠B={∪AmC}/{2}$
Пример:
Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.
Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.
$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.
$∠МРК={45}/{2}=22.5$
Ответ: $22.5$
Прямые на координатной плоскости
Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.
Пример:
Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.
Решение:
Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:
$М(х)= {2+6}/{2}=4$.
Ответ: $4$
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.
Уравнение можно задать с помощью формулы:
${x-x_1}/{x_2-x_1}={y-y_1}/{y_2-y_1}$
Точки пересечения прямой с осями координат:
Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.
Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.
Если уравнение первой прямой: $y=k_{1}x+b_1$;
Уравнение второй прямой: $y= k_{2}x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.
