Вычисления
Дроби
Правильные обыкновенные дроби - числитель меньше знаменателя
Пример:
${1}/{3}; {7}/{11}$
Неправильные обыкновенные дроби – числитель больше знаменателя.
Пример:
${7}/{5}; {11}/{6}$
Смешанные обыкновенные дроби – дроби, у которых имеется целая и дробная часть. Между целой и дробной частью стоит знак $+$, но его не пишут.
Пример:
$3{2}/{5}=3+{2}/{5}$
- Чтобы перейти из смешанной дроби в неправильную дробь надо знаменатель умножить на целое значение, к этому результату прибавить числитель и записать полученное число в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
Пример:
$3 {2}/{5}={3∙5+2}/{5}={17}/{5}$
- Чтобы в неправильной дроби выделить целую часть надо в столбик делить числитель на знаменатель до последнего остатка, далее:
- Результат деления – это целая часть новой дроби.
- Остаток - это числитель новой дроби.
- Знаменатель остается прежним.
Пример: Выделить целую часть ${22}/{3}$
При делении $22$ на $3$ получаем $7$ в результате и $(1)$ в остатке, следовательно, ${22}/{3}=7{1}/{3}$
- Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
- Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
- Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель. Если в результате получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть. Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
- При умножении и делении дробей их надо подписать под общей чертой и сократить.
- При делении дробей, вторую дробь переворачиваем.
- При умножении или делении смешанных дробей, дроби надо перевести в неправильные.
Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.
Пример:
${34}/{100}=0.34; {45}/{10}=4.5$
Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.
- Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. Удобно это выполнять в столбик. При этом десятичные дроби подписывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Добавляют или отнимают десятичные дроби, как натуральные числа, несмотря на запятую. В результате запятую ставят под запятыми.
Пример:
$0.36+0.2=0.56$
$0.36+0.20=0.56$
$0.03-0.0012=0.0288$
$0.0300-0.0012=0.0288$
- При умножении десятичных дробей надо:
- Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые.
- В результате с конца отделить количество знаков, равное сумме количества знаков у обоих множителей.
Пример:
Выполнить умножение $0.28·12.5$
- Умножим $28·125=3500$
- Отделим у $3500$ с конца три знака, так как у множителей было $2$ цифры после запятой и одна (вместе три), получаем $3.500$ или $3.5$.
- Деление десятичных дробей
- Перевести все десятичные дроби в обычные. (Как дробь читается, так и записывается в обыкновенном виде , например $3.14$ (Три целых четырнадцать сотых ) можем записать как $3 {14}/{100}$ или ${314}/{100}$)
- Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую
- Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби.
Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, соединенные между собой знаками алгебраических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.
Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение, например: ${2а}/{7с}$
Алгебраическое выражение, которое состоит только из действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.
Пример:
$5а^5 ср^2$ - это одночлен, в котором $5$ - это коэффициент, а $а^5 ср^2$ - буквенная часть.
- Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.
Пример:
$(2а^2 хс^5)^3=8а^6 х^3 с^{15}$
Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют многочлен.
Например: $4x^3-3xy+8y^5$ - это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ - это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ - это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)
Пример:
Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$
Решение:
В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.
Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».
$p(2x)=2х-6$
Аналогично $p(x+3)= (х+3)-6 = х+3-6 = х-3$
Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$
Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые
$4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4∙0=0$
Ответ: $0$
- В многочлене одинаковые или различные только коэффициентами одночлены называются подобными слагаемыми, только подобные слагаемые можно складывать или вычитать между собой. При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней. <
Пример:
Упростить выражение $2a^2 b-4ab^2-5a^2 b+10ab^2$
Решение:
В данном многочлене найдем слагаемые с одинаковой буквенной частью ($2a^2 b$ и $-5a^2 b; -4ab^2$ и $10ab^2$)- это и будут подобные слагаемые, которые можно сложить между собой.
При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней.
$2a^2 b-5a^2 b=-3a^2 b$
$-4ab^2+10ab^2=6ab^2$
В результате получаем $-3a^2 b+6ab^2$
Ответ: $-3a^2 b+6ab^2$
- Чтобы умножить (разделить) многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить (разделить) на одночлен и полученный результат сложить.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.
Пример:
Выполните умножение $(2xy-7xy^2)(4y^2+2x^2 y)$
Решение:
Умножение выполняем по схеме
Т.е. сначала берем первое слагаемое из первой скобки и умножаем по очереди на слагаемые из второй скобки, потом то же самое проделываем со вторым слагаемым из первой скобки
$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y$
В каждом полученном слагаемом сначала умножаем коэффициенты, а потом буквенную часть по правилам степеней.
$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y=8xy^3+4x^3 y^2-28xy^4-14x^3 y^3$
Подобных слагаемых при умножении не получили, поэтому данное выражение является результатом.
- Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все слагаемые, стоящие в скобках, с их знаками. $a+(b-c)=a+b-c$
- Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (уже без скобок) все слагаемые, ранее стоящие в скобках. $a-(b-c)=a-b+c$
Формулы сокращенного умножения
- Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
- Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a-b)2=a^2-2ab+b^2$
- Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
- Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
- Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
- Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Разложение многочленов на множители
Разложить многочлен на множители означает преобразовать его в произведение нескольких множителей (одночленов и скобок, в которых находятся многочлены).
Способы разложения на множители:
- Вынесение общего множителя за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:
- Определить общий множитель.
- Разделить на него данный многочлен.
- Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).
Пример:
Разложить на множители многочлен: $10a^3 b-8a^2 b^2+2a.$
Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:
$10a^3 b-8a^2 b^2+2а=2a({10a^3 b}/{2a}-{8a^2 b^2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a^2 b-4ab^2+1)$
Это и есть конечный результат разложения на множители.
- Применение формул сокращенного умножения.
- Метод группировки.
Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.
Пример:
Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$
Решение:
Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак $+$ и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.
$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$
Далее из каждой группы вынесем общий множитель
$(2a^3-a^2 )+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$
После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.
$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$
Произведение данных скобок - это конечный результат разложения на множители.
- С помощью формулы квадратного трехчлена.
Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле
$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена
Рациональные дроби
Выражение, представляющее собой дробь, знаменатель которого буквенное выражение, называется рациональной дробью.
В рациональных дробях буквы, входящие в числитель могут принимать любые значения, а буквы, стоящие в знаменателе не должны обращать в ноль знаменатель, поэтому говорят, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение или число, то дробь не изменится.
${а}/{с}={а·Р}/{с·Р}, Р≠0$
- Чтобы сократить рациональную дробь, обязательно нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то дробь несократима.
- Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей:
- Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
- Найти НОЗ.
- Найти дополнительные множители, путем деления общего знаменателя, на знаменатель каждой дроби.
- Умножить числитель каждой дроби на свой дополнительный множитель.
- Привести подобные слагаемые в числителе.
- Разложить числитель на множители.
- Сократить дробь.
Пример:
Найдите значение выражения $(9x^2-25)·({1}/{3x-5}-{1}/{3x+5})$
Решение:
1. Выполним вычитание дробей в скобках, общий знаменатель $(3х-5)(3х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель $(3х+5)$, а ко второй дроби $(3х-5)$.
${1}/{3x-5}-{1}/{3x+5}={3х+5-(3х-5)}/{(3х-5)(3х+5)}={3х+5-3х+5}/{(3х-5)(3х+5)}={10}/{(3х-5)(3х+5)}$
2. Выполним умножение
${(9x^2-25)·10}/{(3х-5)(3х+5)}$, для этого первое выражение надо разложить на множители, выполнить умножение и сократить дробь.
${(3х-5)(3х+5)·10}/{(3х-5)(3х+5)}=10$
Ответ: $10$
- Алгоритм умножения рациональных дробей:
- Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
- Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
- Сократить дробь.
- Алгоритм деления рациональных дробей:
- Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
- Заменить деление умножением, при этом вторую дробь перевернуть.
- Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
- Сократить дробь.
