Преобразование показательных выражений
Степенью числа а с натуральным показателем $n$, большим $1$, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $а$.
$a^n={a·a·a·a·a}↙{n, \раз}$
В частном случае основание $а$ с показателем $1$ называется само число $а$.
$a^1=a$
Степень с отрицательным основанием и чётным показателем равна степени с основанием, противоположным исходному основанию, и с тем же показателем.
$(-a)^{2n}=a^{2n}$, где $2n$ - четный показатель
Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби.
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
$2^{-2}={1}/{2^2}={1}/{4}=0.25$
Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
$√^3{3}=3^{{1}/{3}}$
Свойства степеней
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n·a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
Вычислить ${2^8·(7^2)^4}/{14^7}$
Решение:
Перед решением необходимо сделать одинаковые основания у степеней, для этого разложим основание $14$ на множители.
${2^8·(7^2)^4}/{14^7} ={2^8·(7^2)^4}/{7^7·2^7}$
Далее применим свойства степеней
${2^8·(7^2)^4}/{7^7·2^7}={2^8·7^8}/{7^7·2^7}=2^{8-7}·7^{8-7}=2·7=14$
Ответ: $14$
Найдите значение выражения: ${(a^{√6})^{2√6}}/{a^{13}}$ при $a=5$
Решение:
Для начала упростим выражение, используя свойства степеней
${(a^{√6})^{2√6}}/{a^{13}} ={a^{√6·2√6}}/{a^{13}} ={a^{12}}/{a^{13}} =a^{-1}={1}/{a}$
Подставим в полученное выражение вместо «а» число $5$.
${1}/{a}={1}/{5}=0,2$
Ответ: $0,2$
