Треугольник

На рисунке:

$\mathit{А},\mathit{В},\mathit{С}$ - вершины треугольника.

$\mathit{А}\mathit{В},\mathit{В}\mathit{С}$ и $\mathit{А}\mathit{С}$ – стороны треугольника.

Виды треугольников по величине углов:

1. Остроугольный треугольник - такой треугольник, в котором все углы меньше $90°$, т.е. острые.

2. Прямоугольный треугольник - треугольник, имеющий прямой угол.

3. Тупоугольный треугольник - треугольник, содержащий тупой угол, т.е. угол от $90°$ до $180°$.

Виды треугольников по соотношению сторон:

1. Равносторонний (правильный) треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны и углы равны.

2. Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

3. Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого длины всех сторон разные.

Медиана, биссектриса, высота

Медиана – это отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке $\mathit{O}$, эта точка делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Высота треугольника - это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону (или её продолжение). Эта сторона называется основанием треугольника.

Основные свойства треугольников:

1. Сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
3. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой.
4. В равностороннем треугольнике все углы по $60°$.
5. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.
6. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$\mathit{M}\mathit{N}$ - средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

$\mathit{M}\mathit{N}\Vert \mathit{A}\mathit{C},\mathit{M}\mathit{N}=\frac{\mathit{A}\mathit{C}}{2}$

Площадь треугольника:

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}\bullet {\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$.
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}\bullet \mathit{b}\bullet \mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2},\mathit{г}\mathit{д}\mathit{е}$a,b$-\mathit{с}\mathit{о}\mathit{с}\mathit{е}\mathit{д}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{е}\mathit{с}\mathit{т}\mathit{о}\mathit{р}\mathit{о}\mathit{н}\mathit{ы},$α$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$.
4. $\mathit{S}=\mathit{p}\bullet \mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности.
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}\bullet \mathit{b}\bullet \mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности.
6. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.
7. В прямоугольном треугольнике $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}\bullet \mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а},\mathit{b}$ - катеты.

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $\sqrt{3}$.
5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $\left(\mathit{R}\right)$. (Рис.14)
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. (Рис.14)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$\mathit{А}{\mathit{С}}^2+\mathit{В}{\mathit{С}}^2=\mathit{А}{\mathit{В}}^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}$, с прямым углом $\mathit{С}$

Для острого угла $\mathit{В}$: $\mathit{А}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{В}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

Для острого угла $\mathit{А}$: $\mathit{В}\mathit{С}$ - противолежащий катет; $\mathit{А}\mathit{С}$ - прилежащий катет.

1. Синусом $\left(\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\right)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $\left(\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\right)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $\left(\mathit{t}\mathit{g}\right)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $\left(\mathit{c}\mathit{t}\mathit{g}\right)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. Основное тригонометрическое тождество: $\mathit{s}\mathit{i}{\mathit{n}}^2\mathit{x}+\mathit{c}\mathit{o}{\mathit{s}}^2\mathit{x}=1$
6. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
7. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
8. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов: