Конус, шар

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются ($\mathit{l}$).

$\mathit{l}=\mathit{S}\mathit{A}$

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Ось прямого конуса и его высота равны.

$\mathit{S}\mathit{О}$ - высота и ось конуса.

Свойства конуса:

1. Все образующие конуса равны.

2. Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а боковые стороны равны образующим конуса.

3. Если боковая поверхность конуса – полукруг, то осевым сечением является равносторонний треугольник и угол при вершине осевого сечения равен 60° и радиус основания равен высоте конуса.

${\mathit{R}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}=\mathit{h}$

4. Если конус вписан в сферу, то сфера содержит окружность конуса и его вершину, радиус сферы равен радиусу конуса и равен высоте конуса.

${\mathit{R}}_{\mathit{с}\mathit{ф}\mathit{е}\mathit{р}\mathit{ы}}={\mathit{R}}_{\mathit{к}\mathit{о}\mathit{н}\mathit{у}\mathit{с}\mathit{а}}={\mathit{h}}_{\mathit{к}\mathit{о}\mathit{н}\mathit{у}\mathit{с}\mathit{а}}$

5. Если в конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник, вписан шар, то радиус основания конуса в $\sqrt{3}$ раз больше радиуса шара, а высота конуса в $3$ раза больше радиуса шара.

$\mathit{r}=\mathit{R}\sqrt{3};\mathit{S}{\mathit{O}}_1=3\mathit{R}$

Площадь поверхности и объем конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{l}$

Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{н}\mathit{о}\mathit{й}.\mathit{п}\mathit{о}\mathit{в}.}=\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2+\mathit{\pi }\mathit{R}·\mathit{l}=\mathit{\pi }\mathit{R}\left(\mathit{R}+\mathit{l}\right)$

Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту.

$\mathit{V}=\frac{\mathit{\pi }{\mathit{R}}^2·\mathit{h}}{3}$

Осевое сечение шара это круг, радиус которого равен радиусу шара. Осевым сечением является самый большой круг шара.

Площадь поверхности сферы: ${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=4\mathit{\pi }·{\mathit{R}}^2=\mathit{\pi }·{\mathit{d}}^2$, где $\mathit{R}$ - радиус сферы, $\mathit{d}$ - диаметр сферы

Объем шара: $\mathit{V}=\frac{4\mathit{\pi }·{\mathit{R}}^3}{3}=\frac{\mathit{\pi }·{\mathit{d}}^3}{6}$, где $\mathit{R}$ - радиус шара, $\mathit{d}$ - диаметр шара.

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.