Цилиндр
Цилиндр
Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами $М$ и $М_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая L.
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны основаниям.
Осевое сечение цилиндра - это прямоугольник, у которого одна сторона равна диаметру основания, а вторая – высоте цилиндра.
Основные понятия и свойства цилиндра:
- Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
- Все образующие цилиндра параллельны и равны.
- Радиусом цилиндра называется радиус его основания ($R$).
- Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований (в прямом цилиндре высота равна образующей).
- Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
- Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
- Если высоту цилиндра увеличить в $m$ раз, то объем цилиндра увеличится в то же количество раз.
- Если призму вписать в цилиндр, то ее основаниями будут являться равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра - образующими цилиндра.
- Если цилиндр вписан в призму, то ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Пример:
Сосуд в форме цилиндра заполнен водой до отметки $40$ см. Найдите, на какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд в форме цилиндра, радиус основания которого в $2$ раза больше радиуса основания первого цилиндра. Ответ дайте в сантиметрах.
Решение:
Так как из сосудов перелили одинаковый объем жидкости, следовательно, при равных объемах отличаются радиусы и высоты уровней жидкостей.
$V_1=V_2$;
$R_2=2R_1$, так как у второго цилиндра радиус в два раза больше радиуса первого.
$h_1=40;h_2-?$
Распишем объемы занимаемой жидкости в обоих сосудах и приравняем формулы друг к другу.
$V_1=πR_1^2·h_1=πR_1^2·40$;
$V_2=πR_2^2·h_2=π(2R_1)^2·h_2=4πR_1^2·h_2$.
$πR_1^2·40=4πR_1^2·h_2$
Получили уравнение, которое можно разделить на $πR_1^2$
$40=4 h_2$
Чтобы найти $h_2$ надо сорок разделить на четыре
$h_2=10$
Ответ: $10$
Площадь поверхности и объем цилиндра
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
$S_{бок.пов.}=2πR·h$
Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух площадей оснований и площади боковой поверхности.
$S_{полн.пов.}=2πR^2+2πR·h=2πR(R+h)$
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
$V= πR^2· h$
Объем части цилиндра, в основании которого лежит сектор: $V={πR^2·n°·h}/{360}$, где $n°$ - это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.
Составной цилиндр:
Чтобы найти объем составного цилиндра надо:
- Разделить составной цилиндр на несколько цилиндров или частей цилиндра.
- Найти объем каждого цилиндра.
- Сложить объемы.
