Прямоугольник и параллелограмм
Прямоугольник и параллелограмм
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
$АВ││CD;BC││AD.$
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.
$АВ=CD;BC=AD$
$∠А= ∠С; ∠В= ∠D.$
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
$∆ABD=∆BCD$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
$BO=OD; AO=OC.$
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$
5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.
$∆АВК$ - равнобедренный
6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.
Площадь параллелограмма:
1. Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
$S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма, а $α$ - угол между этими сторонами.
2. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту.
$S=h_a·a$, где $a$ - сторона параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$.
Периметр параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма.
Пример:
Периметр параллелограмма равен $14$. Одна сторона параллелограмма на $1$ больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.
Решение:
Пусть меньшая сторона $ВС-х$, тогда $АВ-(х+1)$, так как она на $1$ больше.
Запишем формулу периметра параллелограмма: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма.
Подставим в формулу известные данные и значения сторон, записанные через «х».
$2(х+х+1)=14$
Получили линейное уравнение, разделим обе части на $2$.
$х+х+1=7$
$2х=6$
$х=3$.
За «х» брали меньшую сторону параллелограмма, следовательно, это и есть ответ.
Ответ: $3$
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
1. Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтому у него присутствуют все свойства параллелограмма).
2. Диагонали прямоугольника равны.
$BD= AC$.
Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
Периметр прямоугольника: $P=2(a+b)$, где $а$ и $b$ - длины сторон прямоугольника.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Все свойства прямоугольника.
- Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
Площадь квадрата:
- $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
- $S={d^2}/{2}$, где $d$ - диагональ квадрата.
Периметр квадрата: $P=4a$
