Прямоугольный параллелепипед

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}{\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$. Его основаниями являются прямоугольники $\mathit{A}\mathit{B}\mathit{C}\mathit{D}$ и ${\mathit{A}}_1{\mathit{B}}_1{\mathit{C}}_1{\mathit{D}}_1$, а боковые ребра $\mathit{A}{\mathit{A}}_1,\mathit{B}{\mathit{B}}_1,\mathit{C}{\mathit{C}}_1$ и $\mathit{D}{\mathit{D}}_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

${\mathit{B}}_1{\mathit{D}}^2=\mathit{A}{\mathit{D}}^2+\mathit{D}{\mathit{C}}^2+{\mathit{C}}_1{\mathit{C}}^2$

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$\mathit{а}$ - длина;

$\mathit{b}$ - ширина;

$\mathit{с}$ - высота(она же боковое ребро);

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$ - объем.

$\mathit{V}=\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}={\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{c}=2\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{c}$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=2\left(\mathit{a}\mathit{b}+\mathit{b}\mathit{c}+\mathit{a}\mathit{c}\right).$

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

Куб

$\mathit{а}$ - длина стороны.

$\mathit{V}={\mathit{a}}^3;$

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=4{\mathit{а}}^2;$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}=6{\mathit{а}}^2;$

$\mathit{d}=\mathit{a}\sqrt{3}$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $\sqrt{3}$.