Призма
Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.
Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.
Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.
$С_1Н$ - высота
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.
Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ - периметр основания;
$S_{осн}$ - площадь основания;
$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;
$h$ - высота призмы.
$S_{бок}=P_{осн}·h$
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}$
$V=S_{осн}·h$
В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник.
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
1. Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
2. Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
3. Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.
Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.
Рассмотрим площади правильных многоугольников:
1. Для равностороннего треугольника $S={a^2√3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
2. Квадрат
$S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2√3}/{4}={3·a^2√3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.
Решение:
Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.
Распишем формулу площади полной поверхности:
$S_{п.п}=S_{бок}+2S_{осн}=P_{осн}·h+2S_{ромба}$
В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$
Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.
Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.
$АВ=√{5^2+12^2}=√{25+144}=√{169}=13$
$Р=13·4=52$
Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
$S_{основания}={d_1·d_2}/{2}={10·24}/{2}=120$
Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:
$S_{п.п}=P_{осн}·h+2S_{ромба}=52·20+2·120=1040+240=1280$
Ответ: $1280$
