Пирамида

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :

$\mathit{А}\mathit{В}=\mathit{a}\mathit{n}$ - сторона правильного многоугольника

$\mathit{R}$ - радиус описанной окружности

$\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности

$\mathit{n}$ - количество сторон и углов

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2·\mathit{R}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\frac{180°}{\mathit{n}};$

$\mathit{r}=\mathit{R}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\frac{180°}{\mathit{n}};$

${\mathit{a}}_{\mathit{n}}=2·\mathit{r}·\mathit{t}\mathit{g}\frac{180°}{\mathit{n}}.$

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.

У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).

Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

${\mathit{P}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ -периметр основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$ - площадь основания;

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}$ - площадь боковой поверхности;

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}$ - площадь полной поверхности;

$\mathit{V}$ - объем.

В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\sum ^{\mathit{n}}{\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}.\mathit{г}\mathit{р}\mathit{а}\mathit{н}\mathit{е}\mathit{й}}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

Площадь треугольника

1. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$, где ${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$ - высота, проведенная к стороне $\mathit{а}$
2. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }}{2}$, где $\mathit{a},\mathit{b}$ - соседние стороны, $\mathit{\alpha }$ - угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $\mathit{S}=\sqrt{\mathit{p}\left(\mathit{p}-\mathit{a}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{b}\right)\left(\mathit{p}-\mathit{c}\right)}$, где $\mathit{р}$ - это полупериметр $\mathit{p}=\frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{2}$
4. $\mathit{S}=\mathit{p}·\mathit{r}$, где $\mathit{r}$ - радиус вписанной окружности
5. $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}·\mathit{c}}{4\mathit{R}}$, где $\mathit{R}$ - радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $\mathit{S}=\frac{\mathit{a}·\mathit{b}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$\mathit{S}=\mathit{a}·\mathit{b}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - смежные стороны.

Ромб

$\mathit{S}=\frac{{\mathit{d}}_1·{\mathit{d}}_2}{2}$, где ${\mathit{d}}_1$ и ${\mathit{d}}_2$ - диагонали ромба

$\mathit{S}={\mathit{a}}^2·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, где $\mathit{а}$ - длина стороны ромба, а $\mathit{\alpha }$ - угол между соседними сторонами.

Трапеция

$\mathit{S}=\frac{\left(\mathit{a}+\mathit{b}\right)·\mathit{h}}{2}$, где $\mathit{а}$ и $\mathit{b}$ - основания трапеции, $\mathit{h}$ - высота трапеции.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

${\mathit{h}}_{\mathit{a}}$- высота боковой грани (апофема)

${\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}=\frac{{\mathit{P}}_{\mathit{о}}\mathit{с}\mathit{н}·{\mathit{h}}_{\mathit{a}}}{2}$

${\mathit{S}}_{\mathit{п}.\mathit{п}}={\mathit{S}}_{\mathit{б}\mathit{о}\mathit{к}}+{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}$

$\mathit{V}=\frac{1}{3}{\mathit{S}}_{\mathit{о}\mathit{с}\mathit{н}}·\mathit{h}$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

1. Для равностороннего треугольника $\mathit{S}=\frac{{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}$, где $\mathit{а}$ - длина стороны.
2. Квадрат $\mathit{S}={\mathit{a}}^2$, где $\mathit{а}$ - сторона квадрата.
3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$\mathit{S}=6·{\mathit{S}}_{\mathit{т}\mathit{р}\mathit{е}\mathit{у}\mathit{г}\mathit{о}\mathit{л}\mathit{ь}\mathit{н}\mathit{и}\mathit{к}\mathit{а}}=\frac{6·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3·{\mathit{a}}^2\sqrt{3}}{2}$, где $\mathit{а}$ - сторона правильного шестиугольника.

Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $\mathit{k}$ раз, его объём увеличится в ${\mathit{k}}^3$ раз.