Пирамида
Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.
Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.
$SO$ - высота
Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :
$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника
$R$ - радиус описанной окружности
$r$ - радиус вписанной окружности
$n$ - количество сторон и углов
$a_n=2·R·sin {180°}/{n};$
$r=R·cos{180°}/{n};$
$a_n=2·r·tg{180°}/{n}.$
В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.
У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).
Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.
Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:
$P_{осн}$ -периметр основания;
$S_{осн}$ - площадь основания;
$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;
$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;
$V$ - объем.
В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.
$S_{бок}=∑↖{n}S_{бок.граней}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.
В основании лежит треугольник
Площадь треугольника
- $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
- $S={a·b·sinα}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
- Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
- $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности
- $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности
- Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.
В основании лежит четырехугольник
Прямоугольник
$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
Ромб
$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
$S=a^2·sinα$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
Трапеция
$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.
Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.
Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.
$h_a$- высота боковой грани (апофема)
$S_{бок}={P_осн·h_a}/{2}$
$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:
- Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
- Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
- Правильный шестиугольник
Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:
$S=6·S_{треугольника}={6·a^2 √3}/{4}={3·a^2 √3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.
Пример:
Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $10$, а высота равна $5√3$.
Решение:
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:
$V={1}/{3} S_{осн}·h$
Так как пирамида правильная, то в основании у нее лежит равносторонний треугольник, найдем его площадь по формуле:
$S_{основания}={a^2 √3}/{4}={10^2·√3}/{4}=25√3$
Подставим все данные в формулу объема и вычислим его:
$V={1}/{3} S_{осн}·h={25√3·5√3}/{3}={25·5·3}/{3}=25·5=125$
Ответ: $125$
Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.
