ЕГЭ по математике (база) 2025
/
Теория по математике (база)
/
Теория по теме «Преобразование логарифмических выражений»
/

Преобразование логарифмических выражений

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию а, где $a>0$ , $a≠1$ , называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$ , чтобы получить $b$ .

Пример:

$log_{2}8=3$ , т.к. $2^{3}=8;$

$log_{3}{1}/{27}=-3$ , т.к $3^{-3}={1}/{27}$

Особенно можно выделить три формулы:

$log_{a}a=1;$

$log_{a}1=0;$

$log_{a}a^b=b.$

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b>0, a>0, a≠1$

Пример:

$4^{log_{4}5}=5;$

$3^{-2log_{3}5}={3^{log_{3}5^{-2}}}=5^{-2}={1}/{25}$

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $l g b$ вместо $log_{10}b$ .

Пример:

$lg100000=lg10^5=5$

Ответ: $5$

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$ , где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2.7$ . При этом пишут $l n b$ , вместо $log_{e}b$

Свойства логарифмов.

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a>0, a≠1, b>0, c>0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log{_а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

Пример:

$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$

$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_{a}(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

Пример:

Вычислить $log_{12}2+log_{12}72$

Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений

$log_{12}2+log_{12}72=log_{12}2·72=log_{12}144=2$

Ответ: $2$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

Пример:

Вычислить $log_{5}75-log_{5}3$

Решение:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений

$log_{5}75-log_{5}3=log_{5}{75}/{3}=log_{5}25=2$

Ответ: $2$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b·log_{c}d=log_{c}b·log_{a}d$ , если $a$ , $b$ , $c$ , $d>0$ , $a≠1$ , $b≠1.$

5. $c^{log_{a}b}=b^{log_{a}c}$ , где $а, b, c>0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Пример:

Найдите значение выражения: ${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}$

Решение:

В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию $2$ . Нам необходимо вернуться к старому основанию $13$ .

${log_{2}∜{13}}/{log_{2}13}=log_{13}∜{13}$

Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня

$∜{13}=13^{{1}/{4}}$

$log_{13}∜{13}=log_{13}13^{{1}/{4}}={1}/{4}=0.25$

Ответ: $0.25$

<< Преобразование иррациональных выражений

Преобразования тригонометрических выражений >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Преобразование логарифмических выражений

Свойства логарифмов.

Бесплатный интенсив по математике (база)

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (база) прямо сейчас