Преобразование логарифмических выражений

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Логарифмом положительного числа b по основанию а, где a>0, a1, называется показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить b.

Пример:

log28=3, т.к. 23=8;

log3127=3, т.к 33=127

Особенно можно выделить три формулы:

logaa=1;

loga1=0;

logaab=b.




Основное логарифмическое тождество:

alogab=b

Это равенство справедливо при b>0,a>0,a1

Пример:

4log45=5;

32log35=3log352=52=125




Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lgb вместо log10b.

Пример:

lg100000=lg105=5

Ответ: 5

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию е, где е – иррациональное число, приближенно равное 2.7. При этом пишут lnb, вместо logeb

Свойства логарифмов.

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для a>0,a1,b>0,c>0,m – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел m и n справедливы равенства:

logаbm=mlogab;

logamb=1mlogab.

loganbm=mnlogab

Пример:

log3310=10log33=10;

log537=13log57;

log3745=57log34;

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

loga(bc)=logab+logac

Пример:

Вычислить log122+log1272

Применим второе свойство наоборот: сумма логарифмов по одинаковому основанию равна логарифму произведения подлогарифмических выражений

log122+log1272=log122·72=log12144=2

Ответ: 2

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

logabc=logablogac

Пример:

Вычислить log575log53

Решение:

Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного подлогарифмических выражений

log575log53=log5753=log525=2

Ответ: 2



4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

logab·logcd=logcb·logad, если a, b, c, d>0, a1, b1.

5. clogab=blogac, где а,b,c>0,a1

6. Формула перехода к новому основанию

logab=logcblogca

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

logab=1logba

Пример:

Найдите значение выражения: log2134log213

Решение:

В выражении видим, что был произведен переход к новому основанию 2. Нам необходимо вернуться к старому основанию 13.

log2134log213=log13134

Далее вычислим получившийся логарифм, для этого подлогарифмическое выражение необходимо представить в виде степени. Любой корень можно выразить в виде степени с дробным показателем, в знаменателе показателя будет находиться показатель корня

134=1314

log13134=log131314=14=0.25

Ответ: 0.25



Бесплатный интенсив по математике (база)

На бесплатном интенсиве ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!