Преобразования тригонометрических выражений

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида sinx=a,cosx=a,tgx=a, где а – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

1 радиан =180π57 градусов

1 градус =π180 радиан

Значения тригонометрических функций некоторых углов

α 0 π6 π4 π3 π2 π
sinα 0 12 22 32 1 0
cosα 1 32 22 12 0 1
tgα 0 33 1 3 0
ctgα 3 1 33 0

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса 2π, у тангенса и котангенса π

Знаки тригонометрических функций по четвертям


Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от 0 до 90 градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

  1. если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы 90° и 270° (π2 и 3π2), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
  2. чтобы определить знак в правой части формулы (+ или ), достаточно, считая угол α острым, определить знак преобразуемого выражения.


Преобразовать сos(90°+α). Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол 90, поэтому cos измениться на sin.

сos(90°+α)=sinα

Чтобы определить знак перед sinα, предположим, что угол α острый, тогда угол 90°+α должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед sinα нужен знак .

сos(90°+α)=sinα - это конечный результат преобразования


Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: cos(t)=cost

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: sin(t)=sint;tg(t)=tgt;ctg(t)=ctgt

Тригонометрические тождества

  1. tgα=sinαcosα
  2. ctgα=cosαsinα
  3. sin2α+cos2α=1 (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

sinα=±1cos2α

cosα=±1sin2α

  1. tgα·ctgα=1
  2. 1+tg2α=1cos2α
  3. 1+ctg2α=1sin2α


Вычислить sint, если cost=513;t(3π2;2π)

Найдем sint через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как t(3π2;2π) -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

sint=1cos2t=125169=144169=1213

Формулы двойного угла

  1. sin2α=2sinα·cosα
  2. cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α
  3. tg2α=2tgα1tg2α

Формулы суммы и разности

cosα+cosβ=2cosα+β2·cosαβ2

cosαcosβ=2sinα+β2·sinβα2

sinα+sinβ=2sinα+β2·cosαβ2

sinαsinβ=2sinαβ2·cosα+β2

Формулы произведения

cosα·cosβ=cos(αβ)+cos(α+β)2

sinα·sinβ=cos(αβ)cos(α+β)2

sinα·cosβ=sin(α+β)+sin(αβ)2

Формулы сложения

cos(α+β)=cosα·cosβsinα·sinβ

cos(αβ)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ

sin(αβ)=sinα·cosβcosα·sinβ

Вычислить sin12cos18+cos12sin18

Данное выражение является синусом суммы

sin12cos18+cos12sin18=sin(12+18)=sin30=0.5

Задача (Вписать в ответ число)

Вычислить sin5π12cosπ12+cosπ12sin5π12

Решение:

Данное выражение является синусом суммы

sin5π12cosπ12+cosπ12sin5π12=sin(π12+5π12)=sin6π12=sinπ2=1

Ответ: 1

Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения

Арккосинус

Если, |а|1, то arccosа – это такое число из отрезка [0;π], косинус которого равен а.

Если, |а|1, то arccosа=t{cos(t)=a0tπ

arcos(a)=πarccosa, где 0а1

Уравнение вида cost=a, eсли, |а|1, имеет решение

t=±arccosa+2πk;kZ

Частные случаи

cost=1,t=2πk;kZ

cost=0,t=π2+πk;kZ

cost=1,t=π+2πk;kZ

Найдите наименьший положительный корень уравнения сos2πx3=32

сos2πx3=32

2πx3=±arccos(32)+2πk;kϵZ

2πx3=±(πarccos32)+2πk;kϵZ

2πx3=±(ππ6)+2πk;kϵZ

2πx3=±5π6+2πk;kϵZ

Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на 2π3

x=±5π·36·2π+2π·32πk

x=±1,25+3k

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо k целые значения

k=0

x1=1,25

x2=1,25

к=1

х1=31,25=1,75

х2=3+1,25=4,25

Нам подходит 1,25 – это и есть результат

Ответ: 1,25

Арксинус

Если, |а|1, то arcsina – это такое число, из отрезка [π2;π2], синус которого равен а.

Если, |а|1, то arcsina=t{sint=a-π2tπ2

arcsin(a)=arcsina, где 0а1

Если, |а|1, то уравнение sint=a можно решить и записать двумя способами:

1.t1=arcsina+2πk;kZ

t2=(πarcsina)+2πk;kZ

2.t=(1)narcsina+πn;nZ

3. Частные случаи

sint=0,t=πk;kZ

sint=1,t=π2+2πk;kZ

sint=1,t=π2+2πk;kZ

Арктангенс

arctga - это такое число, из отрезка [π2;π2], тангенс которого равен а.

arctga=t{tgt=a-π2tπ2

arctg(a)=arctga

Уравнение tgt=a имеет решение t=arctga+πk;kZ

Бесплатный интенсив по математике (база)

На бесплатном интенсиве ты:
  • Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
  • Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
  • Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
  • Порешаем реальные задания из ЕГЭ.

Что тебя ждет?

  • 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
  • Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
  • Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
  • Личный кабинет Турбо.
  • Тренажёр для отработки заданий.
  • Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!