Преобразования тригонометрических выражений
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида , где – действительное число.
Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.
радиан градусов
градус радиан
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Периоды повтора значений тригонометрических функций
Период повторения у синуса и косинуса , у тангенса и котангенса
Знаки тригонометрических функций по четвертям
Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от до градусов.
Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:
- если в формуле содержатся углы и ( и ), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы и ( и ), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
- чтобы определить знак в правой части формулы ( или ), достаточно, считая угол острым, определить знак преобразуемого выражения.
Преобразовать . Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол , поэтому измениться на .
Чтобы определить знак перед , предположим, что угол острый, тогда угол должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед нужен знак .
- это конечный результат преобразования
Четность тригонометрических функций
Косинус четная функция:
Синус, тангенс и котангенс нечетные функции:
Тригонометрические тождества
- (Основное тригонометрическое тождество)
Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса
Вычислить , если
Найдем через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус
Формулы двойного угла
Формулы суммы и разности
Формулы произведения
Формулы сложения
Вычислить
Данное выражение является синусом суммы
Задача (Вписать в ответ число)
Вычислить
Решение:
Данное выражение является синусом суммы
Ответ:
Обратные тригонометрические функции и простейшие тригонометрические уравнения
Арккосинус
Если, , то – это такое число из отрезка , косинус которого равен .
Если, , то
, где
Уравнение вида , eсли, , имеет решение
Частные случаи
Найдите наименьший положительный корень уравнения
Далее избавимся от всех величин, мешающих иксу. Для этого разделим обе части уравнения на
Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим вместо целые значения
Нам подходит – это и есть результат
Ответ:
Арксинус
Если, , то – это такое число, из отрезка , синус которого равен .
Если, , то
, где
Если, , то уравнение можно решить и записать двумя способами:
Частные случаи
Арктангенс
- это такое число, из отрезка , тангенс которого равен .
Уравнение имеет решение
Бесплатный интенсив по математике (база)
- Изучишь основы основ, которые помогут в дальнейшей подготовке к ЕГЭ.
- Полюбишь и поймешь геометрию, ведь мы ее будем разбирать с самых начал.
- Разберем 5 заданий из ЕГЭ по базовой математике.
- Порешаем реальные задания из ЕГЭ.
Что тебя ждет?
- 8 вебинаров (1 вебчик в неделю по 1 часу).
- Домашка после каждого веба, без дедлайна, лето все-таки.
- Скрипты и конспекты, полезные материалы к каждому занятию.
- Личный кабинет Турбо.
- Тренажёр для отработки заданий.
- Домашняя атмосфера на вебах и эффективная подготовка.