Показательные уравнения

При решении показательных уравнений используются свойства степеней, вспомним некоторые из них:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

${\mathit{a}}^{\mathit{n}}\cdot {\mathit{a}}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}+\mathit{m}}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

${\mathit{a}}^{\mathit{n}}:{\mathit{a}}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}-\mathit{m}}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

${\left({\mathit{a}}^{\mathit{n}}\right)}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}·\mathit{m}}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

${\left(\mathit{a}·\mathit{b}\right)}^{\mathit{n}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}}·{\mathit{b}}^{\mathit{n}}$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

${\left(\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}\right)}^{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}{{\mathit{b}}^{\mathit{n}}}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

${\mathit{a}}^0=1$

7. Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби

${\mathit{a}}^{-\mathit{n}}=\frac{1}{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}$

$\frac{{\mathit{a}}^{-\mathit{n}}}{{\mathit{b}}^{-\mathit{k}}}=\frac{{\mathit{b}}^{\mathit{k}}}{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}$

8. Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем

$\sqrt[\mathit{n}]{{\mathit{a}}^{\mathit{k}}}={\mathit{a}}^{\frac{\mathit{k}}{\mathit{n}}}$

Показательные уравнения часто сводятся к решению уравнения ${\mathit{a}}^{\mathit{x}}={\mathit{a}}^{\mathit{m}}$, где, $\mathit{а}>0,\mathit{a}\ne 1,\mathit{x}$ - неизвестное. Для решения таких уравнений воспользуемся свойством степеней: степени с одинаковым основанием $\left(\mathit{а}>0,\mathit{a}\ne 1\right)$ равны только тогда, когда равны их показатели.