Иррациональные уравнения

Решите уравнение $\sqrt{4\mathit{х}-3}=\mathit{х}$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите наименьший из них.

Решение:

Обе части уравнение возведем в квадрат:

$\sqrt{{4\mathit{х}-3}^2}={\mathit{х}}^2$

Получаем квадратное уравнение:

$4\mathit{х}-3={\mathit{х}}^2$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

${-\mathit{х}}^2+4\mathit{х}-3=0$

Решим данное квадратное уравнение устным способом, так как

$\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}=0$

$-1+4-3=0$, следовательно ${\mathit{х}}_1=1;{\mathit{х}}_2=\frac{\mathit{с}}{\mathit{а}}=\frac{-3}{-1}=3$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

$\sqrt{4·1-3}=1$

$1=1$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно ${\mathit{х}}_1=1$ подходит.

$\sqrt{4·\left(3\right)-3}=3$

$\sqrt{9}=3$

$3=3$, получили в результате проверки верное равенство, следовательно корень ${\mathit{х}}_2=3$ подходит

${\mathit{х}}_1=1$ наименьший корень.

Ответ: $1$

Решить уравнение: $\mathit{х}-6=\sqrt{8-\mathit{х}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат

${\left(\mathit{х}-6\right)}^2=8-\mathit{х}$

В левой части уравнения при возведении в квадрат получаем формулу сокращенного умножения квадрат разности. В правой части уравнения квадрат и корень компенсируют друг друга и в результате остается только подкоренное выражение

${\mathit{х}}^2-2·6·\mathit{х}+6^2=8-\mathit{х}$

${\mathit{х}}^2-12\mathit{х}+36=8-\mathit{х}$

Получили квадратное уравнение. Все слагаемые переносим в левую часть уравнения. При переносе слагаемых через знак равно их знаки меняются на противоположные.

${\mathit{х}}^2-12\mathit{х}+36-8+\mathit{х}=0$

Приводим подобные слагаемые:

${\mathit{х}}^2-11\mathit{х}+28=0$

Найдем корни уравнения через дискриминант:

$\mathit{D}={\mathit{b}}^2-4\mathit{a}\mathit{c}=121-4·28=121-112=9=3^2$

${\mathit{x}}_{1,2}=\frac{-\mathit{b}\pm \sqrt{\mathit{D}}}{2\mathit{a}}=\frac{11\pm 3}{2}$

${\mathit{x}}_1=7;{\mathit{x}}_2=4$

Проведем проверку корней, подставив их вместо икса в исходное уравнение

${\mathit{x}}_1=7$

$7-6=\sqrt{8-7}$

$1=1$, получили верное равенство, следовательно, корень нам подходит.

${\mathit{x}}_2=4$

$4-6=\sqrt{8-4}$

$-2=2$, получили неверное равенство, следовательно, данный корень посторонний.

Ответ: $7$