Рациональные уравнения

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Рациональное уравнение – это уравнение вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) - рациональные выражения.

Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Например,

2x+5x=7 – рациональное уравнение

3x+x=7 - иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

  1. Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
  2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  4. Решить получившееся целое уравнение;
  5. Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: 4x+13x=0

Решение:

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

x0

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

4x+13x=0|·x

4x·x+1·x3·xx=0

3. решаем полученное уравнение

4x2+x3=0

Решим вторым устным способом, т.к. а+с=b

Тогда, x1=1,x2=34

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при x=0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: x1=1,x2=34

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ab=cd - пропорция, то a·d=b·c


Решить уравнение 3x52=1x

Решение:

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

x0

Воспользуемся основным свойством пропорции

х(3х5)=2

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

3х25х+2=0

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. a+b+c=0

x1=1,x2=23

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: x1=1,x2=23


Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

  1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
  2. умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
  3. решить получившееся целое уравнение;
  4. исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.


4x+13x=0

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

x0

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

4x+13x=0¦·x

4x·x+1·x3·xx=0

3. решаем полученное уравнение

4x2+x3=0

Решим вторым устным способом, т.к. а+с=b

Тогда х1=1,х2=34

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при x=0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: х1=1,х2=34

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ab=cd, то a·d=b·c

3х52=1х

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

x0

Воспользуемся основным свойством пропорции

х(3х5)=2

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

3х25х+2=0

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

a+b+c=0

x1=1,x2=23

В первом пункте получилось, что при x=0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: x1=1,x2=23

Бесплатный интенсив по математике (база)

27 января — 31 января

На бесплатном интенсиве ты:

✅ Поймешь наконец кто от кого там зависит и на сколько сильно.

✅ Разберешься в алгоритмах решения задач на анализ графиков.

✅ Удивишься тому, как немного надо знать чтобы понимать устройство графиков.


Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!