Логарифмические уравнения

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Логарифмом положительного числа $b$ по основанию $а$ , где $a>0, a ≠ 1$ , называется показатель степени, в которую надо возвести число $а$ , чтобы получить $b$ .

$log_{2}8 = 3$ , т.к. $2^3 = 8;$

$log_3{1}/{27}=-3$ , т.к $3^{-3} = {1}/{27}$ .

Особенно можно выделить три формулы:

$log_{a}a=1;$

$log_{a}1=0;$

$log_{a}a^b=b.$

Основное логарифмическое тождество:

$a^{log_{a}b}=b$

Это равенство справедливо при $b> 0, a> 0, a≠ 1$

$4^{log_{4}5}=5$ ;

$3^{-2log_{3}5}=(3^{log_{3}5})^{-2}=5^{-2}={1}/{25}$

Некоторые свойства логарифмов

Все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a> 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любого действительного числа $m$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{3}3^10=10log_{3}3=10;$

$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$

2. Для решения задач иногда полезно следующее свойство: Если числа $а$ и $b$ на числовой оси расположены по одну сторону от единицы, то $log_{a}b>0$ , а если по разные, то $log_{a}b<0$ .

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $10$ и пишут $l g b$ вместо $log_{10}b$ .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию $е$ , где $е$ – иррациональное число, приближенно равное $2,7$ . При этом пишут $l n b$ , вместо $log_{e}b$

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

$log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$ , где $а$ – положительное число, отличное от $1$ , и уравнения, сводящиеся к этому виду.

После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо проверить условие: подлогарифмическое выражение должно быть больше $0$ .

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

1. Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$ . Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

$log_{2}x=3$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию 2

$log_{2}x=log_{2}2^3$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

$x = 8$

Ответ: $х = 8$

2. Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$ . Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения:

$\{\table \f(x)=g(x); \f(x)>0; \g(x)>0;$

$log_3(x^2-3x-5)=log_3(7-2x)$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$x^2-3x-5=7-2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

$x^2-x-12=0$

$x_1=4,x_2= -3$

Проверим найденные корни по условиям: $\{\table \x^2-3x-5>0; \7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

Ответ: $х= -3$

3. Уравнения квадратного вида ${log_a^2}x+log_{a}x+c=0$ . Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению.

4. Уравнения вида $a^x=b$ . Решаются логарифмированием обеих частей по основанию $а$ .

Решить уравнение $log_5log_2(x+1)=1$

Решение:

Сделаем в обеих частях уравнения логарифмы по основанию $5$

$log_5(log_2(x+1))=log_{5}5$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$log_2(x+1)=5$

Далее представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

$log_2(x+1)=log_{2}2^5$

$x+1=32$

$x=31$

ОДЗ данного уравнения $x+1>0$

Подставим вместо х в неравенство $31$ и проверим, получиться ли верное условие $32>0$ , следовательно, $31$ корень уравнения.

Ответ: $31$

<< Показательные уравнения

Чтение графиков и диаграмм >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

Бесплатный интенсив по математике (база)

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (база) прямо сейчас