Треугольники
Разбор сложных заданий в тг-канале:
Признаки равенства треугольников
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу
4. По катету и острому углу
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, — то он является равнобедренным.
Неравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит бOльшая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая ´ проекция и наоборот
Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника
Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
В прямоугольном треугольнике
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
где a, b — катеты, а c — гипотенуза прямоугольного треугольника; r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно
Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора
1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то
где a и b — остальные стороны треугольника.
4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.
5. Формула Герона:
где p — полупериметр; a, b, c — стороны треугольника.
Элементы равностороннего треугольника
Пусть h, S, r, R — высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной a. Тогда
Основные формулы
Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.
Для решения таких задач требуется знать не очень много формул, поэтому их решение доступно практически каждому. Давайте вспомним эти формулы и разберём примеры их применения.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b):
c2 = a2 + b2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S =ab/2.
Напомним, что у прямоугольного треугольника есть прямой угол, равный 90°. Сторона напротив прямого угла (самая длинная) называется гипотенузой, две прилежащие к прямому углу стороны называют катетами.
На рисунке 147 приведены чертежи некоторых прямоугольных треугольников, у которых показаны катеты a и b.
Задачи с решениями
1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображён треугольник (см. рис. 148). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном треугольнике катеты равны 2 см и 6 см (посчитаем по клеточкам), поэтому площадь
Ответ: 6
На рисунке 152 приведены чертежи некоторых треугольников, у которых обозначены одна из сторон a и высота, проведённая к этой стороне h.
Как правило, удобно брать ту сторону, которая проходит по линиям клетчатой бумаги (или же проходит параллельно осям координат).
Задачи с решениями
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображён треугольник (см. рис. 153). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
1-й способ.
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне. Проведём высоту h. Треугольник тупоугольный, поэтому высота проводится вне треугольника.
На рисунке 154 сторона a = 2 см, высота h = 3 см
Ответ: 3.
Заметим, что так как клетки имеют размер 1 см × 1 см, то площадь в квадратных сантиметрах получится, если мы будем по рисунку считать размер отрезков в клетках. Поэтому единицы длины в этих задачах можно и не писать.
2-й способ.
Достроим треугольник BCM до прямоугольного треугольника MCA (см. рис. 155).
Тогда искомую площадь треугольника BCM можно найти как разность площадей двух прямоугольных треугольников MAC и MAB.
Катеты первого из них равны 3 см и 3 см, катеты второго — 3 см и 1 см. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b):
c2 = a2 + b2
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.
2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то треугольники равны.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. По двум катетам.
2. По катету и гипотенузе.
3. По гипотенузе и острому углу
4. По катету и острому углу
Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё
1. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.
3. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n − 2).
4. Сумма внешних углов n-угольника равна 360°
5. Углы со взаимно перпендикулярными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые.
6. Угол между биссектрисами смежных углов равен 90°.
7. Биссектрисы внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей перпендикулярны.
Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
2. Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный.
3. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают.
4. Если в треугольнике совпадает любая пара отрезков из тройки: медиана, биссектриса, высота, — то он является равнобедренным.
Неравенство треугольника и следствия из него
1. Сумма двух сторон треугольника больше его третьей стороны
2. Сумма звеньев ломаной больше отрезка, соединяющего начало первого звена с концом последнего.
3. Против большего угла треугольника лежит бOльшая сторона.
4. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
5. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета
6. Если из одной точки проведены к прямой перпендикуляр и наклонные, то
1) перпендикуляр короче наклонных;
2) большей наклонной соответствует большая ´ проекция и наоборот
Средняя линия треугольника. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией треугольника.
Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна её половине.
Теоремы о медианах треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы
Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника
Теорема о высотах треугольника. Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Теорема о биссектрисах треугольника. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.
Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам
Признаки подобия треугольников
1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
2. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны.
Площади подобных треугольников
1. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
2. Если два треугольника имеют равные углы, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих эти углы.
В прямоугольном треугольнике
1. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.
2. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к этому катету острого угла.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
4. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, противолежащий этому катету, равен 30°.
где a, b — катеты, а c — гипотенуза прямоугольного треугольника; r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно
Теорема Пифагора и теорема, обратная теореме Пифагора
1. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.
2. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник — прямоугольный
Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу
Метрические соотношения в треугольнике
1. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.
2. Следствие из теоремы косинусов. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
3. Формула для медианы треугольника. Если m — медиана треугольника, проведённая к стороне c, то
где a и b — остальные стороны треугольника.4. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
5. Обобщённая теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.
Формулы площади треугольника
1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.
4. Площадь треугольника равна произведению трёх его сторон, делённому на учетверённый радиус описанной окружности.
5. Формула Герона:
где p — полупериметр; a, b, c — стороны треугольника.
Элементы равностороннего треугольника
Пусть h, S, r, R — высота, площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника со стороной a. Тогда
Основные формулы
Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.
| Чертежи | Обозначения | Формулы |
 |
a, b, c — стороны; A, B, C — противолежащие им углы; ha, hb, hc — высоты, проведённые к соответствующим сторонам; na, nb, nc — биссектрисы, проведённые к соответствующим сторонам; ba и bc — отрезки, на которые делится биссектрисой сторона b; ma, mb, mc — медианы, проведённые к соответствующим сторонам;  полусумма медиан; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности |
 |
Прямоугольный треугольник
Немного полезной информации
В этой главе мы рассмотрим простые виды задач по геометрии, а именно задачи, в которых нужно найти площади плоских фигур, нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на координатной плоскости.Для решения таких задач требуется знать не очень много формул, поэтому их решение доступно практически каждому. Давайте вспомним эти формулы и разберём примеры их применения.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b):
c2 = a2 + b2
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
S =ab/2.
Напомним, что у прямоугольного треугольника есть прямой угол, равный 90°. Сторона напротив прямого угла (самая длинная) называется гипотенузой, две прилежащие к прямому углу стороны называют катетами.
На рисунке 147 приведены чертежи некоторых прямоугольных треугольников, у которых показаны катеты a и b.
Задачи с решениями
1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображён треугольник (см. рис. 148). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В данном треугольнике катеты равны 2 см и 6 см (посчитаем по клеточкам), поэтому площадь
Ответ: 6
Площадь треугольника
Немного полезной информации
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне:На рисунке 152 приведены чертежи некоторых треугольников, у которых обозначены одна из сторон a и высота, проведённая к этой стороне h.
Как правило, удобно брать ту сторону, которая проходит по линиям клетчатой бумаги (или же проходит параллельно осям координат).
Задачи с решениями
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см × 1 см изображён треугольник (см. рис. 153). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.
1-й способ.
Площадь произвольного треугольника равна половине произведения длины его стороны (a) на высоту (h), проведённую к этой стороне. Проведём высоту h. Треугольник тупоугольный, поэтому высота проводится вне треугольника.
На рисунке 154 сторона a = 2 см, высота h = 3 см
Ответ: 3.
Заметим, что так как клетки имеют размер 1 см × 1 см, то площадь в квадратных сантиметрах получится, если мы будем по рисунку считать размер отрезков в клетках. Поэтому единицы длины в этих задачах можно и не писать.
2-й способ.
Достроим треугольник BCM до прямоугольного треугольника MCA (см. рис. 155).
Тогда искомую площадь треугольника BCM можно найти как разность площадей двух прямоугольных треугольников MAC и MAB.
Катеты первого из них равны 3 см и 3 см, катеты второго — 3 см и 1 см. Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы (c) равен сумме квадратов катетов (a и b):
c2 = a2 + b2
Практика: решай 15 задание и тренировочные варианты ОГЭ по математике
Составим твой персональный план подготовки к ОГЭ
Хочу!
