Четырехугольники

 Четырёхугольник

 Параллелограмм. Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
 Свойства и признаки параллелограмма
 1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
 2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
 3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
 5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
 6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
 7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

 Свойство середин сторон четырёхугольника. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

 Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
 Свойства и признаки прямоугольника
 1. Диагонали прямоугольника равны.
 2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

 Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

 Формулы площади четырёхугольника
 1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту
 2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
 3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	a, b — стороны; h — расстояние между сторонами b; α — угол параллелограмма; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями

Площадь четырёхугольника

 Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

    S = ab.

 На рисунке 156 приведены чертежи некоторых прямоугольников, у которых показаны смежные стороны a и b



Задачи с решениями
 На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см×1 см изображён прямоугольник (см. рис. 157). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.



 Решение.
 1-й способ.
 Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон a и b. Для того чтобы найти стороны прямоугольника, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами AB = 2 и BC = 1 и гипотенузой AC = b (см. рис. 158).


 Ответ: 10.

 2-й способ.
 Достроим прямоугольник ACEH до прямоугольника BKMD (см. рис. 159). Чтобы найти площадь ACEH, нужно из площади прямоугольника BKMD вычесть площади прямоугольных треугольников AKH, HME, EDC и ABC.
 Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь каждого из двух больших треугольников (AKH и EDC) равна 4, а площадь каждого из двух маленьких треугольников (HME и ABC) равна 1. Площадь прямоугольника BKMD равна 4 · 5 = 20. Следовательно, площадь искомого прямоугольника будет равна 20 − 1 − 1 − 4 − 4 = 10.
 Ответ: 10.
 Заметим, что подобным «достраиванием» можно найти площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге.

 Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
 Свойства и признаки ромба
 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
 2. Диагонали ромба делят его углы пополам
 3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
 4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	a — сторона; α — угол ромба; D1, D2 — диагонали.

 Четырёхугольник

Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
 Свойства и признаки параллелограмма
 1. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
 2. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
 3. Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
 5. Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
 6. Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
 7. Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

 Свойство середин сторон четырёхугольника. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырёхугольника.

 Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
 Свойства и признаки прямоугольника
 1. Диагонали прямоугольника равны.
 2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм — прямоугольник

 Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.

 Формулы площади четырёхугольника
 1. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту
 2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон на синус угла между ними.
 3. Площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон.

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	a, b — стороны; h — расстояние между сторонами b; α — угол параллелограмма; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями

Площадь четырёхугольника

 Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

    S = ab.

 На рисунке 156 приведены чертежи некоторых прямоугольников, у которых показаны смежные стороны a и b

Ромб

Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
 Свойства и признаки ромба
 1. Диагонали ромба перпендикулярны.
 2. Диагонали ромба делят его углы пополам
 3. Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
 4. Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

 Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	a — сторона; α — угол ромба; D1, D2 — диагонали.

Трапеция

Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
 1. Теорема о средней линии трапеции. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
 2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

 Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

 Равнобедренная трапеция. Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.
 Свойства и признаки равнобедренной трапеции
 1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
 2. Диагонали равнобедренной трапеции равны
 3. Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
 4. Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная
 5. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме оснований.

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	a, b — основания; c, d — боковые стороны; D1, D2 — диагонали; α — угол между диагоналями; m — средняя линия; h — высота

 Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований (a + b) на высоту (h):



 На рисунке 168 приведены чертежи некоторых трапеций, у каждой из которых показаны основания a и b и высота h.



 Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	n — число сторон; a — сторона; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; α = 180° − 2γ — угол многоугольника

 Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

 Основные формулы
 Далее S — площадь фигуры, P — периметр, p — полупериметр.

Чертежи	Обозначения	Формулы
	a, b, c, d — стороны; D1, D2 — диагонали; γ — угол между диагоналями; h1, h2 — длины перпендикуляров, опущенных на диагональ D1; α, β — два противолежащих угла четырёхугольника.
	n — число сторон; a — сторона; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; α = 180° − 2γ — угол многоугольника