Электромагнитные колебания и волны

Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре

Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность $\mathit{L}$, емкость $\mathit{С}$ и сопротивление $\mathit{R}$, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры. Параметры $\mathit{R},\mathit{L}$ и $\mathit{С}$ линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.

При отсутствии потерь ($\mathit{R}=0$) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию ${\mathit{W}}_{\mathit{р}}$ и переводят переключатель в положение $2$. После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, препятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля ${\mathit{W}}_{\mathit{M}}$. Полная энергия $\mathit{W}$ электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Полная энергия, в силу закона сохранения энергии, равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:

$\mathit{W}=\frac{\mathit{L}{\mathit{I}}^2}{2}+\frac{{\mathit{q}}^2}{2\mathit{C}}=\frac{{\mathit{q}}_{\mathit{m}}^2}{2\mathit{C}}=\frac{\mathit{L}{\mathit{I}}_{\mathit{m}}^2}{2}$

где $\mathit{L}$ — индуктивность катушки, $\mathit{I}$ и ${\mathit{I}}_{\mathit{m}}$ — сила тока и ее максимальное значение, $\mathit{q}$ и ${\mathit{q}}_{\mathit{m}}$ — заряд конденсатора и его максимальное значение, $\mathit{C}$ — емкость конденсатора.

Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденсатора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза математического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.

В таблице приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.

Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре, можно получить, приравняв производную по полной энергии контура к нулю (поскольку полная энергия постоянна) и заменив в полученном уравнении ток на производную заряда по времени. В окончательном виде уравнение выглядит так:

$\mathit{q}\prime \prime =-\frac{1}{\mathit{L}\mathit{C}}\mathit{q}$

Как видно, уравнение ничем не отличается по форме от соответствующего дифференциального уравнения для свободных механических колебаний шарика на пружине. Заменив механические параметры системы на электрические с помощью приведенной выше таблицы, мы в точности получим уравнение.

По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электрических колебаний равна:

${\mathit{\omega }}_0=\frac{1}{\sqrt{\mathit{L}\mathit{C}}}$

Период свободных колебаний в контуре равен:

$\mathit{T}=\frac{2\mathit{\pi }}{{\mathit{\omega }}_0}=2\mathit{\pi }\sqrt{\mathit{L}\mathit{C}}$

Формула $\mathit{T}=\frac{2\mathit{\pi }}{{\mathit{\omega }}_0}=2\mathit{\pi }\sqrt{\mathit{L}\mathit{C}}$ называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее вывел.

Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием $\mathit{L}$ и $\mathit{С}$ объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает и медленнее падает до нуля, а чем больше емкость, тем больше времени требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока описываются теми же уравнениями, что и их механические аналоги:

$\mathit{q}={\mathit{q}}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}$

$\mathit{i}=\mathit{q}\prime =-{\mathit{\omega }}_0{\mathit{q}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}={\mathit{I}}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left({\mathit{\omega }}_0\mathit{t}+\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)$

где ${\mathit{q}}_{\mathit{m}}$ — амплитуда колебаний заряда, ${\mathit{I}}_{\mathit{m}}={\mathit{\omega }}_0{\mathit{q}}_{\mathit{m}}$ — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на $\frac{\mathit{\pi }}{2}$ колебания заряда.