ОГЭ по математике 2025
/
Теория по математике
/
Теория по теме «Уравнения и системы уравнений (1 часть)»
/

Уравнения и системы уравнений (1 часть)

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа, - правой частью уравнения.

Линейные уравнения

Линейным называется такое уравнение, в котором неизвестное $x$ находится в числителе уравнения и без показателей. Например: $2х – 5 = 3$

Линейные уравнения сводятся к виду $ax = b$ , которое получается при помощи раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, переноса слагаемых из одной части уравнения в другую, а также умножения или деления обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

$5 (5 + 3х) - 10х = 8$

Раскроем скобки.

$25 + 15х - 10х = 8$

Перенесем неизвестные слагаемые в левую часть уравнения, а известные в правую. При переносе из одной части в другую, у слагаемого меняется знак на противоположный.

$15х - 10х = 8 - 25$

Приведем подобные слагаемые.

$5х = -17$ - это конечный результат преобразований.

После преобразований к виду $ax = b$ , где, a=0, корень уравнения находим по формуле $х = {b}/{a}$

$х=-{17}/{5}$

$х = - 3,4$

Ответ: $- 3,4$

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ , где $a, b, c$ — некоторые числа a $≠0$ , $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

$a$ - старший коэффициент;
$b$ - средний коэффициент;
$c$ - свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$ . Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$ .

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$ , если $a$ ≠0 $;$ c $=0$ . В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$ .

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$ . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$ . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$ . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 - 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х - 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х - 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$ .

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = - c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$ , то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$ , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 - 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = - 4$

Решение полного квадратного уравнения

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$ .

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$ . Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$ . В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$ . В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 - 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х - 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = - 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$ , то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х - 7 = 0$

$4 + 3 - 7 = 0$ , следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$ , то $х_1= - 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$ , следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x - 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x - 3)^3 =$ 3³

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х - 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 - {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 - {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x - {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x - 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = - 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$ , то $a · d = b · c$

${3х-5}/{-2}={1}/{х}$

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

Воспользуемся основным свойством пропорции

$х (3х - 5) = -2$

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой части уравнения

$3х^2- 5х + 2 = 0$

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к.

$a + b + c = 0$

$x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = {2}/{3}$

Практика: решай 9 задание и тренировочные варианты ОГЭ по математике

<< Алгебраические выражения. Степени и корни

Вероятность и статистика >>

Составим твой персональный план подготовки к ОГЭ

Хочу!