Алгебраические выражения. Степени и корни

В частном случае основание $\mathit{а}$ с показателем $1$ называется само число $\mathit{а}$.

${\mathit{a}}^1=\mathit{a}$

Степень с отрицательным основанием и чётным показателем равна степени с основанием, противоположным исходному основанию, и с тем же показателем.

${\left(-\mathit{a}\right)}^{2\mathit{n}}={\mathit{a}}^{2\mathit{n}}$, где $2\mathit{n}$ - четный показатель

Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби.

${\mathit{a}}^{-\mathit{n}}=\frac{1}{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}$

$\frac{{\mathit{a}}^{-\mathit{n}}}{{\mathit{b}}^{-\mathit{k}}}=\frac{{\mathit{b}}^{\mathit{k}}}{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}$

Свойства степеней

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

${\mathit{a}}^{\mathit{n}}·{\mathit{a}}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}+\mathit{m}}$

2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются

${\mathit{a}}^{\mathit{n}}:{\mathit{a}}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}-\mathit{m}}$

3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

${\left({\mathit{a}}^{\mathit{n}}\right)}^{\mathit{m}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}·\mathit{m}}$

4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель

${\left(\mathit{a}·\mathit{b}\right)}^{\mathit{n}}={\mathit{a}}^{\mathit{n}}·{\mathit{b}}^{\mathit{n}}$

5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

${\left(\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}\right)}^{\mathit{n}}=\frac{{\mathit{a}}^{\mathit{n}}}{{\mathit{b}}^{\mathit{n}}}$

6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице

${\mathit{a}}^0=1$

В записи $\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}$, «а» называется подкоренным числом, $\mathit{n}$ - показателем корня или радикала.

Свойства корней $\mathit{n}$-ой степени при $\mathit{а}\ge 0$ и $\mathit{b}\ge 0$:

1. Корень произведения равен произведению корней

$\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}\bullet \mathit{b}}=\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}\bullet \sqrt[\mathit{n}]{\mathit{b}}$

2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя

$\sqrt[\mathit{n}]{\frac{\mathit{a}}{\mathit{b}}}=\frac{\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}}{\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{b}}}$, при $\mathit{b}\ne 0$

3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение

${\left(\sqrt[\mathit{n}]{\mathit{a}}\right)}^{\mathit{k}}=\sqrt[\mathit{n}]{{\mathit{a}}^{\mathit{k}}}$

4. Если $\mathit{а}\ge 0$ и $\mathit{n},\mathit{k}$ - натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.

$\sqrt[\mathit{n}]{\sqrt[\mathit{k}]{\mathit{a}}}=\sqrt[\mathit{n}\bullet \mathit{k}]{\mathit{a}}$

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

$\sqrt[\mathit{n}\bullet \mathit{m}]{{\mathit{a}}^{\mathit{k}\bullet \mathit{m}}}=\sqrt[\mathit{n}]{{\mathit{a}}^{\mathit{k}}}$

6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.

7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.

$\sqrt[\mathit{n}]{{\mathit{a}}^{\mathit{k}}}={\mathit{a}}^{\frac{\mathit{k}}{\mathit{n}}}$

Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.