Алгебраические выражения. Степени и корни
Степенью числа а с натуральным показателем $n$, большим $1$, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $а$.
$a^n={a·a·a·a·a}↙{n, \раз}$
В частном случае основание $а$ с показателем $1$ называется само число $а$.
$a^1=a$
Степень с отрицательным основанием и чётным показателем равна степени с основанием, противоположным исходному основанию, и с тем же показателем.
$(-a)^{2n}=a^{2n}$, где $2n$ - четный показатель
Основание в любом отрицательном показателе степени можно представить в виде основания в таком же положительном показателе степени, изменив положение основания относительно черты дроби.
$a^{-n}={1}/{a^n}$
${a^{-n}}/{b^{-k}}={b^k}/{a^n}$
$2^{-2}={1}/{2^2}={1}/{4}=0.25$
Радикал (корень) можно представить в виде степени с дробным показателем
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
$√^3{3}=3^{{1}/{3}}$
Свойства степеней
1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.
$a^n·a^m=a^{n+m}$
2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели вычитаются
$a^n:a^m=a^{n-m}$
3. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются
$(a^n)^m=a^{n·m}$
4. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
$(a·b)^n=a^n·b^n$
5. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель
$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$
6. При возведении любого основания в нулевой показатель степени результат равен единице
$a^0=1$
Вычислить ${2^8·(7^2)^4}/{14^7}$
Решение:
Перед решением необходимо сделать одинаковые основания у степеней, для этого разложим основание $14$ на множители.
${2^8·(7^2)^4}/{14^7} ={2^8·(7^2)^4}/{7^7·2^7}$
Далее применим свойства степеней
${2^8·(7^2)^4}/{7^7·2^7}={2^8·7^8}/{7^7·2^7}=2^{8-7}·7^{8-7}=2·7=14$
Ответ: $14$
Найдите значение выражения: ${(a^{√6})^{2√6}}/{a^{13}}$ при $a=5$
Решение:
Для начала упростим выражение, используя свойства степеней
${(a^{√6})^{2√6}}/{a^{13}} ={a^{√6·2√6}}/{a^{13}} ={a^{12}}/{a^{13}} =a^{-1}={1}/{a}$
Подставим в полученное выражение вместо «а» число $5$.
${1}/{a}={1}/{5}=0,2$
Ответ: $0,2$
Выражения, содержащие знак радикала (корень), называются иррациональными.
Арифметическим корнем натуральной степени $n$ из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получается число $а$.
$(√^n{a})^n=a$
В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ - показателем корня или радикала.
Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:
1. Корень произведения равен произведению корней
$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$
Пример:
Вычислить $√^5{5}∙√^5{625}$
Решение:
Корень произведения равен произведению корней и наоборот: произведение корней с одинаковым показателем корня равно корню из произведения подкоренных выражений
$√^n{a}∙√^n{b}=√^n{a∙b}$
$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$
Ответ: $5$
2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя
$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$
3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение
$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$
4. Если $а≥0$ и $n,k$ - натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.
$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$
5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.
$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$
6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.
7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.
$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$
Пример:
Найдите значение выражения ${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}$ при $с>0$
Решение:
Корень произведения равен произведению корней
${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}={√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}$
Корни из чисел мы можем извлечь сразу
${√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}={3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}$
Далее применим формулу
$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$
${3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}={3∙√^22{с}}/{2∙√^22{с}}$
Корни $22$ степени из $с$ мы сокращаем и получаем ${3}/{2}=1,5$
Ответ: $1,5$
Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.
