Алгебраические выражения. Формулы сокращённого умножения

Рациональные выражения - это целые и дробные выражения, состоящие из чисел и букв, соединенные между собой знаками алгебраических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение, например: ${2а}/{7с}$

Алгебраическое выражение, которое состоит только из действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

• Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.

Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют многочлен.

Например: $4x^3-3xy+8y^5$ - это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ - это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ - это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)

• В многочлене одинаковые или различные только коэффициентами одночлены называются подобными слагаемыми, только подобные слагаемые можно складывать или вычитать между собой. При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней. <

• Чтобы умножить (разделить) многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить (разделить) на одночлен и полученный результат сложить.

• Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.

Подобных слагаемых при умножении не получили, поэтому данное выражение является результатом.

• Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все слагаемые, стоящие в скобках, с их знаками. $a+(b-c)=a+b-c$
• Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (уже без скобок) все слагаемые, ранее стоящие в скобках. $a-(b-c)=a-b+c$

Формулы сокращенного умножения

1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a-b)2=a^2-2ab+b^2$
3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители означает преобразовать его в произведение нескольких множителей (одночленов и скобок, в которых находятся многочлены).

Способы разложения на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

1. Определить общий множитель.
2. Разделить на него данный многочлен.
3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

• Применение формул сокращенного умножения.
• Метод группировки.

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Произведение данных скобок - это конечный результат разложения на множители.

• С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена

Рациональные дроби

В рациональных дробях буквы, входящие в числитель могут принимать любые значения, а буквы, стоящие в знаменателе не должны обращать в ноль знаменатель, поэтому говорят, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение или число, то дробь не изменится.

${а}/{с}={а·Р}/{с·Р}, Р≠0$

• Чтобы сократить рациональную дробь, обязательно нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то дробь несократима.

• Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей:

1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
2. Найти НОЗ.
3. Найти дополнительные множители, путем деления общего знаменателя, на знаменатель каждой дроби.
4. Умножить числитель каждой дроби на свой дополнительный множитель.
5. Привести подобные слагаемые в числителе.
6. Разложить числитель на множители.
7. Сократить дробь.

• Алгоритм умножения рациональных дробей:

1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
2. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
3. Сократить дробь.

• Алгоритм деления рациональных дробей:

1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
2. Заменить деление умножением, при этом вторую дробь перевернуть.
3. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
4. Сократить дробь.