Равнобедренный треугольник

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Равнобедренный треугольник - это такой треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называются боковыми. Третья сторона называется основанием.

Свойства:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

3. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

4. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

5. Углы, противолежащие равным сторонам равнобедренного треугольника, всегда острые.

6. В равнобедренном треугольнике:

- биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны;

- высоты, проведенные из вершин при основании, равны;

- медианы, проведенные из вершин при основании, равны.

7. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане, проведенных к основанию.

8. Вписанная окружность точкой касания делит основание пополам.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

$∠BCD$ - внешний угол треугольника $А В С$ .

$∠BCD=∠A+∠B$

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $А В С$ , с прямым углом $С$ .

Для острого угла $В$ : $А С$ - противолежащий катет; $В С$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А$ : $В С$ - противолежащий катет; $А С$ - прилежащий катет.

Синусом ( $s i n$ ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом ( $c o s$ ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом ( $t g$ ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом ( $c t g$ ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $А В С$ для острого угла $В$ :

$sin⁡B={AC}/{AB};$

$cos⁡B={BC}/{AB};$

$tg B={AC}/{BC};$

$ctg B={BC}/{AC}$ .

В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$sin BOA=sin BOC;$

$cos BOA= - cos BOC;$

$tg BOA= - tg BOC;$

$ctg BOA= - ctg BOC.$

Пример:

В треугольнике $A B C$ $AB=BC, AH$ — высота, $AC=34, cos ∠BAC=0.15$ . Найдите $C H$ .

Решение:

Так как треугольник $А В С$ равнобедренный, то $∠A=∠С$ (как углы при основании)

Косинусы равных углов равны, следовательно, $cos∠BAC=cos∠ВСА=0.15$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $А Н С$ .

Косинусом ( $c o s$ ) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Распишем косинус $∠НСА$ (он же $∠ВСА$ ) по определению:

$cos⁡∠НСА={НС}/{АС}={НС}/{34}=0.15$

Из последнего равенства найдем $Н С$ , для этого $0.15$ представим в виде обыкновенной дроби и воспользуемся свойством пропорции:

${НС}/{34}={15}/{100}$

$НС={34·15}/{100}=5.1$

Ответ: $5.1$

<< Прямоугольный треугольник

Треугольники общего вида >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!

Равнобедренный треугольник

Бесплатный интенсив по математике (база)

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Начни онлайн-курс ЕГЭ по математике (база) прямо сейчас