Четырехугольники

Теория к заданию 1 из ЕГЭ по математике (база)

Разбор сложных заданий в тг-канале:

Посмотреть

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

$А В │ │ C D; B C │ │ A D .$

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.

$АВ=CD;BC=AD$

$∠А=∠С; ∠В=∠D$ .

2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$∆ABD=∆BCD.$

3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

$BO=OD; AO=OC.$

4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$

5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.

$∆АВК$ - равнобедренный.

6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$ .

Площадь параллелограмма:

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$ , где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма, а $α$ - угол между этими сторонами.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$ , где $a$ - сторона параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$ .

Пример:

Определите синус острого угла параллелограмма, если его большая высота равна $7$ , а стороны $10$ и $14$ .

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.

$S=a·b·sinα$ , из этой формулы можем выразить синус угла.

$sin⁡α={S}/{a·b}$

Стороны параллелограмма нам известны, осталось вычислить площадь. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение высоты на основание. Нам известна большая высота параллелограмма, а большая высота опускается к меньшей стороне параллелограмма, следовательно, $S=7·10=70$ .

Подставим все известные данные в формулу синуса:

$sinα={S}/{a·b}={70}/{14·10}=0.5$

Ответ: $0.5$

Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтму у него присутствуют все свойства параллелограмма).
Диагонали прямоугольника равны. $BD=AC$ .

Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.

$S=a·b$ , где $а$ и $b$ - смежные стороны.

Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Все свойства параллелограмма.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$ .
Диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S={d_1·d_2}/2$ , где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба. $S=a^2·sinα$ , где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

Все свойства прямоугольника.
Все свойства ромба.

Площадь квадрата:

$S=a^2$ , где $а$ - сторона квадрата.
$S={d^2}/{2}$ , где $d$ - диагональ квадрата.

Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

Параллельные стороны называются основаниями: $В С$ и $A D$ - основания.

Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $А В$ и $C D$ – боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.

Свойства средней линии трапеции:

1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.

$M N │ │ B C; M N │ │ A D .$

2. Средняя линия равна полусумме оснований.

$MN={BC+AD}/{2}$

3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.

$М К$ - средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$ .

$K N$ - средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$ .

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Углы при основаниях равны.

$∠А=∠D; ∠B=∠C.$

2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

$BD=AC.$

3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.

$АС_1={BC+AD}/{2}.$

4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.

$BC=B_1C_1;$

$AB_1=C_1 D={AD-BC}/{2}.$

5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.

6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

$АВ+CD=BC+AD$

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$ , то только тогда около него можно описать окружность.

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

Практика: решай 1 задание и тренировочные варианты ЕГЭ по математике (база)

<< Треугольники общего вида

Окружность. Касательные, секущие, хорды >>

Составим твой персональный план подготовки к ЕГЭ

Хочу!