Четырехугольники
Теория к заданию 1 из ЕГЭ по математике (база)
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
$АВ││CD;BC││AD.$
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны и углы попарно равны.
$АВ=CD;BC=AD$
$∠А=∠С; ∠В=∠D$.
2. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
$∆ABD=∆BCD.$
3. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
$BO=OD; AO=OC.$
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
$BD^2+AC^2=2(AB^2+AD^2)$
5. Биссектриса угла в параллелограмме отсекает от него равнобедренный треугольник.
$∆АВК$ - равнобедренный.
6. В параллелограмме биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне (соседних углов), пересекаются под углом в $90°$.
Площадь параллелограмма:
- Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними. $S=a·b·sinα$, где $а$ и $b$ - длины сторон параллелограмма, а $α$ - угол между этими сторонами.
- Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. $S=h_a·a$, где $a$ - сторона параллелограмма, $h_a$ - высота, проведенная к стороне $a$.
Пример:
Определите синус острого угла параллелограмма, если его большая высота равна $7$, а стороны $10$ и $14$.
Решение:
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
$S=a·b·sinα$, из этой формулы можем выразить синус угла.
$sinα={S}/{a·b}$
Стороны параллелограмма нам известны, осталось вычислить площадь. Площадь параллелограмма можно вычислить как произведение высоты на основание. Нам известна большая высота параллелограмма, а большая высота опускается к меньшей стороне параллелограмма, следовательно, $S=7·10=70$.
Подставим все известные данные в формулу синуса:
$sinα={S}/{a·b}={70}/{14·10}=0.5$
Ответ: $0.5$
Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Свойства прямоугольника:
- Все свойства параллелограмма (Так как прямоугольник – это тот же параллелограмм, только особенный, поэтму у него присутствуют все свойства параллелограмма).
- Диагонали прямоугольника равны. $BD=AC$.
Площадь прямоугольника равна половине произведения смежных (соседних) сторон.
$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.
Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Свойства ромба:
- Все свойства параллелограмма.
- Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. $BD⊥AC$.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов.
Площадь ромба:
- Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. $S={d_1·d_2}/2$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба
- Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус острого угла ромба. $S=a^2·sinα$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Свойства квадрата:
- Все свойства прямоугольника.
- Все свойства ромба.
Площадь квадрата:
- $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
- $S={d^2}/{2}$, где $d$ - диагональ квадрата.
Трапеция - это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.
Параллельные стороны называются основаниями: $ВС$ и $AD$ - основания.
Непараллельные стороны называются боковыми сторонами: $АВ$ и $CD$ – боковые стороны.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией трапеции.
Свойства средней линии трапеции:
1. Средняя линия параллельна основаниям трапеции.
$MN││BC; MN││AD.$
2. Средняя линия равна полусумме оснований.
$MN={BC+AD}/{2}$
3. Диагональ делит среднюю линию на две части, каждая из которых является средней линией получившихся треугольников.
$МК$ - средняя линия треугольника $ABD; MK={AD}/{2}$.
$KN$ - средняя линия треугольника $BCD; KN={BC}/{2}$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.
Свойства равнобедренной трапеции:
1. Углы при основаниях равны.
$∠А=∠D; ∠B=∠C.$
2. Диагонали в равнобедренной трапеции равны.
$BD=AC.$
3. Основание высоты равнобедренной трапеции, опущенной из меньшего основания, делит другое основание на отрезки, больший из которых равен полусумме оснований.
$АС_1={BC+AD}/{2}.$
4. Основания высот равнобедренной трапеции, опущенных из меньшего основания, делят большее основание на отрезки, один из которых равен меньшему основанию, а два других – полуразности оснований.
$BC=B_1C_1;$
$AB_1=C_1 D={AD-BC}/{2}.$
5. Если трапеция является равнобедренной, то около неё можно описать окружность.
6. Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то высота рана длине средней линии данной трапеции.
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
$АВ+CD=BC+AD$
Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность.
$∠В+∠D=180°$
$∠A+∠C=180°$
