Системы счисления. Свойства систем счисления

Представление числовой информации. Сложение и умножение в разных системах счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Для представления информации в компьютере используется двоичный код, алфавит которого состоит из двух цифр — 0 и 1. Каждая цифра машинного двоичного кода несет количество информации, равное одному биту.

Система счисления — это система записи чисел с помощью определенного набора цифр.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, которое определяется ее местом в числе.

Позиционной является десятичная система счисления. Например, в числе 999 цифра «9» в зависимости от позиции означает 9, 90, 900.

Римская система счисления является непозиционной. Например, значение цифры Х в числе ХХІ остается неизменным при вариации ее положения в числе.

Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Количество различных цифр, употребляемых в позиционной системе счисления, называется ее основанием.

Развернутая форма числа — это запись, которая представляет собой сумму произведений цифр числа на значение позиций.

Например: 8527 = 8 ⋅ 10³ + 5 ⋅ 10² + 2 ⋅ 10¹ + 7 ⋅ 10⁰.

Развернутая форма записи чисел произвольной системы счисления имеет вид

$∑↙{i=n-1}↖{-m}a_iq^i$,

где $X$ — число;

$a$ — цифры численной записи, соответствующие разрядам;

$i$ — индекс;

$m$ — количество разрядов числа дробной части;

$n$ — количество разрядов числа целой части;

$q$ — основание системы счисления.

Например, запишем развернутую форму десятичного числа $327.46$:

$n=3, m=2, q=10.$

$X=∑↙{i=2}↖{-2}a_iq^i=a_2·10^2+a_1·10^1+a_0·10^0+a_{-1}·10^{-1}+a_{-2}·10^{-2}=3·10^2+2·10^1+7·10^0+4·10^{-1}+6·10^{-2}$

Если основание используемой системы счисления больше десяти, то для цифр вводят условное обозначение со скобкой вверху или буквенное обозначение: В — двоичная система, О — восмеричная, Н — шестнадцатиричная.

Например, если в двенадцатеричной системе счисления 10 = А, а 11 = В, то число 7А,5В₁₂ можно расписать так:

7А,5В₁₂ = В ⋅ 12^-2 + 5 ⋅ 2^-1 + А ⋅ 12⁰ + 7 ⋅ 12¹.

В шестнадцатеричной системе счисления 16 цифр, обозначаемых 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, что соответствует следующим числам десятеричной системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Примеры чисел: 17D,ECH; F12AH.

Перевод чисел в позиционных системах счисления

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную необходимо использовать развернутую форму числа, заменяя, если это необходимо, буквенные обозначения соответствующими цифрами. Например:

1101₂ = 1 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2² + 0 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ = 13₁₀;

17D,ECH = 12 ⋅ 16^–2 + 14 ⋅ 16^–1 + 13 ⋅ 160 + 7 ⋅ 16¹ + 1 ⋅ 16² = 381,921875.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в заданную

Для преобразования целого числа десятичной системы счисления в число любой другой системы счисления последовательно выполняют деление нацело на основание системы счисления, пока не получат нуль. Числа, которые возникают как остаток от деления на основание системы, представляют собой последовательную запись разрядов числа в выбранной системе счисления от младшего разряда к старшему. Поэтому для записи самого числа остатки от деления записывают в обратном порядке.

Например, переведем десятичное число 475 в двоичную систему счисления. Для этого будем последовательно выполнять деление нацело на основание новой системы счисления, т. е. на 2:

Читая остатки от деления снизу вверх, получим 111011011.

Проверка:

1 ⋅ 2⁸ + 1 ⋅ 2⁷ + 1 ⋅ 2⁶ + 0 ⋅ 2⁵ + 1 ⋅ 2⁴ + 1 ⋅ 2³ + 0 ⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ = 1 + 2 + 8 + 16 + 64 + 128 + 256 = 475₁₀.

Для преобразования десятичных дробей в число любой системы счисления последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не будет равна нулю. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.

Например, переведем десятичную дробь 0,375₁₀ в двоичную систему счисления:

Полученный результат — 0,011₂.

Не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления, поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную и обратно

Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т. е. в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита информации (8 = 2^І; І = 3).

Таким образом, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов. Лишние нули в старших разрядах отбрасываются.

Например:

1234,777₈ = 001 010 011 100,111 111 111₂ = 1 010 011 100,111 111 111₂;

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂.

При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления нужно каждую триаду двоичных цифр заменить восьмеричной цифрой. При этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Например:

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈;

11,1001₂ = 011,100 100₂ = 3,44₈;

110,0111₂ = 110,011 100₂ = 6,34₈.

Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т. е. для каждого разряда числа возможны 16 вариантов записи. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита информации (16 = 2^І; І = 4).

Таким образом, для перевода двоичного числа в шестнадцатеричное его нужно разбить на группы по четыре цифры и преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру.

Например:

1100111₂ = 0110 0111₂ = 67₁₆;

11,1001₂ = 0011,1001₂ = 3,9₁₆;

110,0111001₂ = 0110,0111 0010₂ = 65,72₁₆.

Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичный код необходимо каждую цифру этого числа представить четверкой двоичных цифр.

Например:

1234,AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂ = 1 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂;

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂.

При переводе числа из одной произвольной системы счисления в другую нужно выполнить промежуточное преобразование в десятичное число. При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатеричное и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.

Например, переведем троичное число 211₃ в семеричную систему счисления. Для этого сначала преобразуем число 211₃ в десятичное, записав его развернутую форму:

211₃ = 2 ⋅ 3² + 1 ⋅ 3¹ + 1 ⋅ 3⁰ = 18 + 3 + 1 = 22₁₀.

Затем переведем десятичное число 22₁₀ в семеричную систему счисления делением нацело на основание новой системы счисления, т. е. на 7:

Итак, 211₃ = 31₇.

Примеры решения задач

Пример 1. В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Указать это основание.

Решение. Обозначим искомое основание п. По правилу записи чисел в позиционных системах счисления 12₁₀ = 110_n = 0 ·n⁰ + 1 · n¹ + 1 · n². Составим уравнение: n² + n = 12 . Найдем натуральный корень уравнения (отрицательный корень не подходит, т. к. основание системы счисления, по определению, натуральное число большее единицы): n = 3 . Проверим полученный ответ: 110₃ = 0· 3⁰ + 1 · 3¹ + 1 · 3² = 0 + 3 + 9 = 12 .

Ответ: 3.

Пример 2. Указать через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 22 оканчивается на 4.

Решение. Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. 22 - 4 = 18. Найдем делители числа 18. Это числа 2, 3, 6, 9, 18. Числа 2 и 3 не подходят, т. к. в системах счисления с основаниями 2 и 3 нет цифры 4. Значит, искомыми основаниями являются числа 6, 9 и 18. Проверим полученный результат, записав число 22 в указанных системах счисления: 22₁₀ = 34₆ = 24₉ = 14₁₈.

Ответ: 6, 9, 18.

Пример 3. Указать через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101. Ответ записать в десятичной системе счисления.

Решение. Для удобства воспользуемся восьмеричной системой счисления. 101₂ = 5₈. Тогда число х можно представить как x = 5 · 8⁰ + a₁ · 8¹ + a₂ · 8² + a₃ · 8³ + ... , где a₁, a₂, a₃, … — цифры восьмеричной системы. Искомые числа не должны превосходить 25, поэтому разложение нужно ограничить двумя первыми слагаемыми ( 8² > 25), т. е. такие числа должны иметь представление x = 5 + a₁ · 8. Поскольку x ≤ 25 , допустимыми значениями a₁ будут 0, 1, 2. Подставив эти значения в выражение для х, получим искомые числа:

a₁ = 0; x = 5 + 0 · 8 = 5;.

a₁=1; x = 5 + 1 · 8 = 13;.

a₁ = 2; x = 5 + 2 · 8 = 21;.

Выполним проверку:

5₁₀ = 101₂;

13₁₀ = 1101₂;

21₁₀ = 10101₂.

Ответ: 5, 13, 21.

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Правила выполнения арифметических действий над двоичными числами задаются таблицами сложения, вычитания и умножения.

Правило выполнения операции сложения одинаково для всех систем счисления: если сумма складываемых цифр больше или равна основанию системы счисления, то единица переносится в следующий слева разряд. При вычитании, если необходимо, делают заем.

Пример выполнения сложения: сложим двоичные числа 111 и 101, 10101 и 1111:

Пример выполнения вычитания: вычтем двоичные числа 10001 – 101 и 11011 – 1101:

Пример выполнения умножения: умножим двоичные числа 110 и 11, 111 и 101:

Аналогично выполняются арифметические действия в восьмеричной, шестнадцатеричной и других системах счисления. При этом необходимо учитывать, что величина переноса в следующий разряд при сложении и заем из старшего разряда при вычитании определяется величиной основания системы счисления.

Например, выполним сложение восьмеричных чисел 36₈ и 15₈, а также вычитание шестнадцатеричных чисел 9С₁₆ и 67₁₆:

При выполнении арифметических операций над числами, представленными в разных системах счисления, нужно предварительно перевести их в одну и ту же систему.

Представление чисел в компьютере

Формат с фиксированной запятой

В памяти компьютера целые числа хранятся в формате с фиксированной запятой: каждому разряду ячейки памяти соответствует один и тот же разряд числа, «запятая» находится вне разрядной сетки.

Для хранения целых неотрицательных чисел отводится 8 битов памяти. Минимальное число соответствует восьми нулям, хранящимся в восьми битах ячейки памяти, и равно 0. Максимальное число соответствует восьми единицам и равно

1 ⋅ 2⁷ + 1 ⋅ 2⁶ + 1 ⋅ 2⁵ + 1 ⋅ 2⁴ + 1 ⋅ 2³ + 1 ⋅ 2² + 1 ⋅ 2¹ + 1 ⋅ 2⁰ = 255₁₀.

Таким образом, диапазон изменения целых неотрицательных чисел — от 0 до 255.

Для п-разрядного представления диапазон будет составлять от 0 до 2ⁿ – 1.

Для хранения целых чисел со знаком отводится 2 байта памяти (16 битов). Старший разряд отводится под знак числа: если число положительное, то в знаковый разряд записывается 0, если число отрицательное — 1. Такое представление чисел в компьютере называется прямым кодом.

Для представления отрицательных чисел используется дополнительный код. Он позволяет заменить арифметическую операцию вычитания операцией сложения, что существенно упрощает работу процессора и увеличивает его быстродействие. Дополнительный код отрицательного числа А, хранящегося в п ячейках, равен 2ⁿ − |А|.

Алгоритм получения дополнительного кода отрицательного числа:

1. Записать прямой код числа в п двоичных разрядах.

2. Получить обратный код числа. (Обратный код образуется из прямого кода заменой нулей единицами, а единиц — нулями, кроме цифр знакового разряда. Для положительных чисел обратный код совпадает с прямым. Используется как промежуточное звено для получения дополнительного кода.)

3. Прибавить единицу к полученному обратному коду.

Например, получим дополнительный код числа –2014₁₀ для шестнадцатиразрядного представления:

При алгебраическом сложении двоичных чисел с использованием дополнительного кода положительные слагаемые представляют в прямом коде, а отрицательные — в дополнительном коде. Затем суммируют эти коды, включая знаковые разряды, которые при этом рассматриваются как старшие разряды. При переносе из знакового разряда единицу переноса отбрасывают. В результате получают алгебраическую сумму в прямом коде, если эта сумма положительная, и в дополнительном — если сумма отрицательная.

Например:

1) Найдем разность 13₁₀ – 12₁₀ для восьмибитного представления. Представим заданные числа в двоичной системе счисления:

13₁₀ = 1101₂ и 12₁₀ = 1100₂.

Запишем прямой, обратный и дополнительный коды для числа –12₁₀ и прямой код для числа 13₁₀ в восьми битах:

Вычитание заменим сложением (для удобства контроля за знаковым разрядом условно отделим его знаком «_»):

Так как произошел перенос из знакового разряда, первую единицу отбрасываем, и в результате получаем 00000001.

2) Найдем разность 8₁₀ – 13₁₀ для восьмибитного представления.

Запишем прямой, обратный и дополнительный коды для числа –13₁₀ и прямой код для числа 8₁₀ в восьми битах:

Вычитание заменим сложением:

В знаковом разряде стоит единица, а значит, результат получен в дополнительном коде. Перейдем от дополнительного кода к обратному, вычтя единицу:

11111011 – 00000001 = 11111010.

Перейдем от обратного кода к прямому, инвертируя все цифры, за исключением знакового (старшего) разряда: 10000101. Это десятичное число –5₁₀.

Так как при п-разрядном представлении отрицательного числа А в дополнительном коде старший разряд выделяется для хранения знака числа, минимальное отрицательное число равно: А = –2^n–1, а максимальное: |А| = 2^n–1 или А = –2^n–1 – 1.

Определим диапазон чисел, которые могут храниться в оперативной памяти в формате длинных целых чисел со знаком (для хранения таких чисел отводится 32 бита памяти). Минимальное отрицательное число равно

А = –2³¹ = –2147483648₁₀.

Максимальное положительное число равно

А = 2³¹ – 1 = 2147483647₁₀.

Достоинствами формата с фиксированной запятой являются простота и наглядность представления чисел, простота алгоритмов реализации арифметических операций. Недостатком является небольшой диапазон представимых чисел, недостаточный для решения большинства прикладных задач.