Энергия. Законы изменения и сохранения энергии

Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии

Если тело или несколько взаимодействующих между собой тел (система тел) могут совершать работу, то говорят, что они обладают энергией.

Слово «энергия» (от греч. energia — действие, деятельность) нередко употребляется в быту. Так, например, людей, которые могут быстро выполнять работу, называют энергичными, обладающими большой энергией.

Энергия, которой обладает тело вследствие движения, называется кинетической энергией.

Как и в случае определения энергии вообще, о кинетической энергии можно сказать, что кинетическая энергия — это способность движущегося тела совершать работу.

Найдем кинетическую энергию тела массой $\mathit{m}$, движущегося со скоростью $\mathit{\upsilon }$. Поскольку кинетическая энергия — это энергия, обусловленная движением, нулевым состоянием для нее является то состояние, в котором тело покоится. Найдя работу, необходимую для сообщения телу данной скорости, мы найдем его кинетическую энергию.

Для этого подсчитаем работу на участке перемещения $∆\overrightarrow{\mathit{r}}$ при совпадении направлений векторов силы $\overrightarrow{\mathit{F}}$ и перемещения $∆\overrightarrow{\mathit{r}}$. В этом случае работа равна

$\mathit{A}=\mathit{F}·∆\mathit{x},$

где $∆\mathit{x}=∆\mathit{r}$

Для движения точки с ускорением $\mathit{\alpha }=\mathit{c}\mathit{o}\mathit{n}\mathit{s}\mathit{t}$ выражение для перемещения имеет вид:

$∆\mathit{x}={\mathit{\upsilon }}_1\mathit{t}+\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2},$

где ${\mathit{\upsilon }}_1$ — начальная скорость.

Подставив в уравнение $\mathit{A}=\mathit{F}·∆\mathit{x}$ выражение для $∆\mathit{x}$ из $∆\mathit{x}={\mathit{\upsilon }}_1\mathit{t}+\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2}$ и воспользовавшись вторым законом Ньютона $\mathit{F}=\mathit{m}\mathit{a}$, получим:

$\mathit{A}=\mathit{m}\mathit{a}\left({\mathit{\upsilon }}_1\mathit{t}+\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2}\right)=\frac{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{t}}{2}\left(2{\mathit{\upsilon }}_1+\mathit{a}\mathit{t}\right)$

Выразив ускорение через начальную ${\mathit{\upsilon }}_1$ и конечную ${\mathit{\upsilon }}_2$ скорости $\mathit{a}=\frac{{\mathit{\upsilon }}_2-{\mathit{\upsilon }}_1}{\mathit{t}}$ и подставив в $\mathit{A}=\mathit{m}\mathit{a}\left({\mathit{\upsilon }}_1\mathit{t}+\frac{\mathit{a}{\mathit{t}}^2}{2}\right)=\frac{\mathit{m}\mathit{a}\mathit{t}}{2}\left(2{\mathit{\upsilon }}_1+\mathit{a}\mathit{t}\right)$ имеем:

$\mathit{A}=\frac{\mathit{m}\left({\mathit{\upsilon }}_2-{\mathit{\upsilon }}_1\right)}{2}·\left(2{\mathit{\upsilon }}_1+{\mathit{\upsilon }}_2-{\mathit{\upsilon }}_1\right)$

или

$\mathit{A}=\frac{\mathit{m}{\mathit{\upsilon }}_2^2}{2}-\frac{\mathit{m}{\mathit{\upsilon }}_1^2}{2}$

Приравняв теперь начальную скорость к нулю: ${\mathit{\upsilon }}_1=0$, получим выражение для кинетической энергии:

${\mathit{E}}_{\mathit{K}}=\frac{\mathit{m}\mathit{\upsilon }}{2}=\frac{{\mathit{p}}^2}{2\mathit{m}}$

Таким образом, движущееся тело обладает кинетической энергией. Эта энергия равна работе, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до значения $\mathit{\upsilon }$.

Из ${\mathit{E}}_{\mathit{K}}=\frac{\mathit{m}\mathit{\upsilon }}{2}=\frac{{\mathit{p}}^2}{2\mathit{m}}$ следует, что работа силы по перемещению тела из одного положения в другое равна изменению кинетической энергии:

$\mathit{A}={\mathit{E}}_{{\mathit{K}}_2}-{\mathit{E}}_{{\mathit{K}}_1}=∆{\mathit{E}}_{\mathit{K}}$

Равенство $\mathit{A}={\mathit{E}}_{{\mathit{K}}_2}-{\mathit{E}}_{{\mathit{K}}_1}=∆{\mathit{E}}_{\mathit{K}}$ выражает теорему об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за это время силой, действующей на тело.

Потенциальная энергия

Потенциальной энергией называется энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.

Поскольку энергия определяется как способность тела совершать работу, то потенциальную энергию, естественно, определяют как работу силы, зависящую только от взаимного расположения тел. Таковой является работа силы тяжести $\mathit{A}=\mathit{m}\mathit{g}{\mathit{h}}_1-\mathit{m}\mathit{g}{\mathit{h}}_2=\mathit{m}\mathit{g}\mathit{H}$ и работа силы упругости:

$\mathit{A}=\frac{\mathit{k}{\mathit{x}}_0^2}{2}-\frac{\mathit{k}{\mathit{x}}^2}{2}$

Потенциальной энергией тела, взаимодействующего с Землей, называют величину, равную произведению массы $\mathit{m}$ этого тела на ускорение свободного падения $\mathit{g}$ и на высоту $\mathit{h}$ тела над поверхностью Земли:

${\mathit{E}}_{\mathit{p}}=\mathit{m}\mathit{g}\mathit{h}$

Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину, равную половине произведения коэффициента упругости (жесткости) $\mathit{k}$ тела на квадрат деформации $∆\mathit{l}$:

${\mathit{E}}_{\mathit{p}}=\frac{1}{2}\mathit{k}∆{\mathit{l}}^2$

Работа консервативных сил (тяжести и упругости) с учетом ${\mathit{E}}_{\mathit{p}}=\mathit{m}\mathit{g}\mathit{h}$ и ${\mathit{E}}_{\mathit{p}}=\frac{1}{2}\mathit{k}∆{\mathit{l}}^2$ выражается следующим образом:

$\mathit{A}={\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}-{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_2}=-\left({\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_2}-{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}\right)=-∆{\mathit{E}}_{\mathit{p}}$

Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.

Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.

Знак «минус» в правой части уравнения $\mathit{A}={\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}-{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_2}=-\left({\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_2}-{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}\right)=-∆{\mathit{E}}_{\mathit{p}}$ означает, что при совершении работы внутренними силами (например, падение тела на землю под действием силы тяжести в системе «камень — Земля») энергия системы убывает. Работа и изменение потенциальной энергии в системе всегда имеют противоположные знаки.

Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то физический смысл в механике имеет только изменение энергии. Поэтому выбор нулевого уровня энергии произволен и определяется исключительно соображениями удобства, например, простотой записи соответствующих уравнений.

Закон изменения и сохранения механической энергии

Полной механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:

$\mathit{E}={\mathit{E}}_{\mathit{k}}+{\mathit{E}}_{\mathit{p}}$

Она определяется положением тел (потенциальная энергия) и их скоростью (кинетическая энергия).

Согласно теореме о кинетической энергии,

${\mathit{E}}_{\mathit{k}}-{\mathit{E}}_{{\mathit{k}}_1}={\mathit{A}}_{\mathit{p}}+{\mathit{A}}_{\mathit{п}\mathit{р}},$

где ${\mathit{А}}_{\mathit{р}}$ — работа потенциальных сил, ${\mathit{А}}_{\mathit{п}\mathit{р}}$ — работа непотенциальных сил.

В свою очередь, работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии тела в начальном ${\mathit{Е}}_{{\mathit{р}}_1}$ и конечном ${\mathit{Е}}_{\mathit{р}}$ состояниях. Учитывая это, получим выражение для закона изменения механической энергии:

$\left({\mathit{E}}_{\mathit{k}}+{\mathit{E}}_{\mathit{p}}\right)-\left({\mathit{E}}_{{\mathit{k}}_1}+{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}\right)={\mathit{A}}_{\mathit{п}\mathit{р}}$

где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, а правая — работа непотенциальных сил.

Итак, закон изменения механической энергии гласит:

Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил.

Механическая система, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной.

В консервативной системе ${\mathit{А}}_{\mathit{п}\mathit{р}}=0$. Отсюда следует закон сохранения механической энергии:

В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):

${\mathit{E}}_{\mathit{k}}+{\mathit{E}}_{\mathit{p}}={\mathit{E}}_{{\mathit{k}}_1}+{\mathit{E}}_{{\mathit{p}}_1}$

Закон сохранения механической энергии выводится из законов механики Ньютона, которые применимы для системы материальных точек (или макрочастиц).

Однако закон сохранения механической энергии справедлив и для системы микрочастиц, где сами законы Ньютона уже не действуют.

Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени.

Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы.

Закон сохранения полной механической энергии означает, что при изменении кинетической энергии в консервативной системе должна меняться и ее потенциальная энергия, так что их сумма остается постоянной. Это означает возможность превращения одного вида энергии в другой.

В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю (равную сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом), электромагнитную, химическую (которая складывается из кинетической энергии движения электронов и электрической энергии их взаимодействия друг с другом и с атомными ядрами), ядерную и пр. Из сказанного видно, что деление энергии на разные виды достаточно условно.

Явления природы обычно сопровождаются превращением одного вида энергии в другой. Так, например, трение частей различных механизмов приводит к превращению механической энергии в тепло, т. е. во внутреннюю энергию. В тепловых двигателях, наоборот, происходит превращение внутренней энергии в механическую; в гальванических элементах химическая энергия превращается в электрическую и т. д.

В настоящее время понятие энергии является одним из основных понятий физики. Это понятие неразрывно связано с представлением о превращении одной формы движения в другую.

Вот как в современной физике формулируется понятие энергии:

Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.