Давление. Сила Архимеда

Закон Паскаля

Гидростатика (от греч. hydor — вода и statos — стоящий) — один из подразделов механики, изучающий равновесие жидкости, а также равновесие твердых тел, частично или полностью погруженных в жидкость.

Закон Паскаля — основной закон гидростатики, согласно которому давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Этот закон был открыт французским ученым Б. Паскалем в 1653 г. и опубликован в 1663 г.

Чтобы убедиться в справедливости закона Паскаля, достаточно проделать простой опыт. Присоединим к трубке с поршнем полый шар со множеством маленьких отверстий. Наполнив шар водой, нажмем на поршень, чтобы увеличить в нем давление. Вода начнет выливаться, но не только через то отверстие, которое находится на линии действия прилагаемой нами силы, а и через все остальные тоже. Причем напор воды, обусловленный внешним давлением, во всех появившихся струйках будет одинаковым.

Аналогичный результат мы получим в том случае, если вместо воды будем использовать дым. Таким образом, закон Паскаля справедлив не только для жидкостей, но и для газов.

Жидкости и газы передают оказываемое на них давление по всем направлениям одинаково.

Передача давления жидкостями и газами во всех направлениях одновременно объясняется достаточно высокой подвижностью частиц, из которых они состоят.

Давление покоящейся жидкости на дно и стенки сосуда (гидростатическое давление)

Жидкости (и газы) передают по всем направлениям не только внешнее давление, но и то давление, которое существует внутри них благодаря весу собственных частей.

Давление, оказываемое покоящейся жидкостью, называется гидростатическим.

Получим формулу для расчета гидростатического давления жидкости на произвольной глубине $\mathit{h}$ (в окрестности точки А на рисунке).

Сила давления, действующая со стороны вышележащего узкого столба жидкости, может быть выражена двумя способами:

1) как произведение давления $\mathit{р}$ в основании этого столба на площадь его сечения $\mathit{S}$:

$\mathit{F}=\mathit{p}\mathit{S};$

2) как вес того же столба жидкости, т. е. произведение массы $\mathit{m}$ жидкости на ускорение свободного падения:

$\mathit{F}=\mathit{m}\mathit{g}$

Масса жидкости может быть выражена через ее плотность $\mathit{р}$ и объем $\mathit{V}$:

$\mathit{m}=\mathit{p}\mathit{V},$

а объем — через высоту столба и площадь его поперечного сечения:

$\mathit{V}=\mathit{S}\mathit{h}$

Подставляя в формулу $\mathit{F}=\mathit{m}\mathit{g}$ значение массы из $\mathit{m}=\mathit{p}\mathit{V}$ и объема из $\mathit{V}=\mathit{S}\mathit{h}$, получим:

$\mathit{F}=\mathit{p}\mathit{V}\mathit{g}=\mathit{p}\mathit{S}\mathit{h}\mathit{g}$

Приравнивая выражения $\mathit{F}=\mathit{p}\mathit{S}$ и $\mathit{F}=\mathit{p}\mathit{V}\mathit{g}=\mathit{p}\mathit{S}\mathit{h}\mathit{g}$ для силы давления, получим:

$\mathit{p}\mathit{S}=\mathit{p}\mathit{S}\mathit{h}\mathit{g}$

Разделив обе части последнего равенства на площадь $\mathit{S}$, найдем давление жидкости на глубине $\mathit{h}$:

$\mathit{p}=\mathit{p}\mathit{h}\mathit{g}$

Это и есть формула гидростатического давления.

Гидростатическое давление на любой глубине внутри жидкости не зависит от формы сосуда, в котором находится жидкость, и равно произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и глубины, на которой определяется давление.

Важно еще раз подчеркнуть, что по формуле гидростатического давления можно рассчитывать давление жидкости, налитой в сосуд любой формы, в том числе давление на стенки сосуда, а также давление в любой точке жидкости, направленное снизу вверх, поскольку давление на одной и той же глубине одинаково по всем направлениям.

С учетом атмосферного давления ${\mathit{р}}_0$, формула для давления покоящейся в ИСО жидкости на глубине $\mathit{h}$ запишется следующим образом:

$\mathit{p}={\mathit{p}}_0+\mathit{p}\mathit{g}\mathit{h}$

Гидростатический парадокс

Гидростатический парадокс — явление, заключающееся в том, что вес жидкости, налитой в сосуд, может отличаться от силы давления жидкости на дно сосуда.

В данном случае под словом «парадокс» понимают неожиданное явление, не соответствующее обычным представлениям.

Так, в расширяющихся кверху сосудах сила давления на дно меньше веса жидкости, а в сужающихся — больше. В цилиндрическом сосуде обе силы одинаковы. Если одна и та же жидкость налита до одной и той же высоты в сосуды разной формы, но с одинаковой площадью дна, то, несмотря на разный вес налитой жидкости, сила давления на дно одинакова для всех сосудов и равна весу жидкости в цилиндрическом сосуде.

Это следует из того, что давление покоящейся жидкости зависит только от глубины под свободной поверхностью и от плотности жидкости: $\mathit{p}=\mathit{p}\mathit{g}\mathit{h}$ (формула гидростатического давления). А так как площадь дна у всех сосудов одинакова, то и сила, с которой жидкость давит на дно этих сосудов, одна и та же. Она равна весу вертикального столба $\mathit{А}\mathit{В}\mathit{С}\mathit{D}$ жидкости: $\mathit{P}=\mathit{p}\mathit{g}\mathit{h}\mathit{S}$, здесь $\mathit{S}$ — площадь дна (хотя масса, а следовательно, и вес в этих сосудах различны).

Гидростатический парадокс объясняется законом Паскаля — способностью жидкости передавать давление одинаково во всех направлениях.

Из формулы гидростатического давления следует, что одно и то же количество воды, находясь в разных сосудах, может оказывать разное давление на дно. Поскольку это давление зависит от высоты столба жидкости, то в узких сосудах оно будет больше, чем в широких. Благодаря этому даже небольшим количеством воды можно создавать очень большое давление. В 1648 г. это очень убедительно продемонстрировал Б. Паскаль. Он вставил в закрытую бочку, наполненную водой, узкую трубку и, поднявшись на балкон второго этажа, вылил в эту трубку кружку воды. Из-за малой толщины трубки вода в ней поднялась до большой высоты, и давление в бочке увеличилось настолько, что крепления бочки не выдержали, и она треснула.

Закон Архимеда

Закон Архимеда — закон статики жидкостей и газов, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная весу вытесненной телом жидкости (газа) и направленная по вертикали вверх.

Этот закон был открыт древнегреческим ученым Архимедом в III в. до н. э. Свои исследования Архимед описал в трактате «О плавающих телах», который считается одним из последних его научных трудов.

Ниже приведены выводы, следующие из закона Архимеда.

Действие жидкости и газа на погруженное в них тело

Если погрузить в воду мячик, наполненный воздухом, и отпустить его, то он всплывет. То же самое произойдет со щепкой, с пробкой и многими другими телами. Какая же сила заставляет их всплывать?

На тело, погруженное в воду, со всех сторон действуют силы давления воды. В каждой точке тела эти силы направлены перпендикулярно его поверхности. Если бы все эти силы были одинаковы, тело испытывало бы лишь всестороннее сжатие. Но на разных глубинах гидростатическое давление различно: оно возрастает с увеличением глубины. Поэтому силы давления, приложенные к нижним участкам тела, оказываются больше сил давления, действующих на тело сверху.

Если заменить все силы давления, приложенные к погруженному в воду телу, одной (результирующей или равнодействующей) силой, оказывающей на тело то же самое действие, что и все эти отдельные силы вместе, то результирующая сила будет направлена вверх. Это и заставляет тело всплывать. Эта сила называется выталкивающей силой, или архимедовой силой (по имени Архимеда, который впервые указал на ее существование и установил, от чего она зависит). На рисунке она обозначена как ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}$.

Архимедова (выталкивающая) сила действует на тело не только в воде, но и в любой другой жидкости, т. к. в любой жидкости существует гидростатическое давление, разное на разных глубинах. Эта сила действует и в газах, благодаря чему летают воздушные шары и дирижабли.

Благодаря выталкивающей силе вес любого тела, находящегося в воде (или в любой другой жидкости), оказывается меньше, чем в воздухе, а в воздухе меньше, чем в безвоздушном пространстве. В этом легко убедиться, взвесив гирю с помощью учебного пружинного динамометра сначала в воздухе, а затем опустив ее в сосуд с водой.

Уменьшение веса происходит и при переносе тела из вакуума в воздух (или какой-либо другой газ).

Если вес тела в вакууме (например, в сосуде, из которого откачан воздух) равен ${\mathit{Р}}_0$, то его вес в воздухе равен:

$\mathit{P}\mathit{в}\mathit{о}\mathit{з}\mathit{д}={\mathit{P}}_0-\mathit{F}\prime \mathit{A},$

где $\mathit{F}\prime \mathit{A}$ — архимедова сила, действующая на данное тело в воздухе. Для большинства тел эта сила ничтожно мала и ею можно пренебречь, т. е. можно считать, что $\mathit{P}\mathit{в}\mathit{о}\mathit{з}\mathit{д}={\mathit{P}}_0=\mathit{m}\mathit{g}$.

Вес тела в жидкости уменьшается значительно сильнее, чем в воздухе. Если вес тела в воздухе $\mathit{P}\mathit{в}\mathit{о}\mathit{з}\mathit{д}={\mathit{P}}_0$, то вес тела в жидкости равен $\mathit{Р}\mathit{ж}\mathit{и}\mathit{д}\mathit{к}={\mathit{Р}}_0-{\mathit{F}}_{\mathit{A}}$. Здесь ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}$ — архимедова сила, действующая в жидкости. Отсюда следует, что

${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{P}}_0-\mathit{P}\mathit{ж}\mathit{и}\mathit{д}\mathit{к}$

Поэтому чтобы найти архимедову силу, действующую на тело в какой-либо жидкости, нужно это тело взвесить в воздухе и в жидкости. Разность полученных значений и будет архимедовой (выталкивающей) силой.

Другими словами, учитывая формулу ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{P}}_0-{\mathit{P}}_{\mathit{ж}\mathit{и}\mathit{д}\mathit{к}}$, можно сказать:

Выталкивающая сила, действующая на погруженное в жидкость тело, равна весу жидкости, вытесненной этим телом.

Определить архимедову силу можно также теоретически. Для этого предположим, что тело, погруженное в жидкость, состоит из той же жидкости, в которую оно погружено. Мы имеем право это предположить, так как силы давления, действующие на тело, погруженное в жидкость, не зависят от вещества, из которого оно сделано. Тогда приложенная к такому телу архимедова сила ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}$ будет уравновешена действующей вниз силой тяжести ${\mathit{m}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$ (где ${\mathit{m}}_{\mathit{ж}}$ — масса жидкости в объеме данного тела):

${\mathit{F}}_{\mathit{a}}={\mathit{m}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$

Но сила тяжести ${\mathit{m}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$ равна весу вытесненной жидкости ${\mathit{Р}}_{\mathit{ж}}$, Таким образом,

${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{P}}_{\mathit{ж}}$

Учитывая, что масса жидкости равна произведению ее плотности ${\mathit{р}}_{\mathit{ж}}$ на объем, формулу ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{m}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$ можно записать в виде:

${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{p}}_{\mathit{ж}}{\mathit{V}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$

где ${\mathit{V}}_{\mathit{ж}}$ — объем вытесненной жидкости. Этот объем равен объему той части тела, которая погружена в жидкость. Если тело погружено в жидкость целиком, то он совпадает с объемом $\mathit{V}$ всего тела; если же тело погружено в жидкость частично, то объем ${\mathit{V}}_{\mathit{ж}}$ вытесненной жидкости меньше объема $\mathit{V}$ тела.

Формула ${\mathit{F}}_{\mathit{A}}={\mathit{m}}_{\mathit{ж}}\mathit{g}$ справедлива и для архимедовой силы, действующей в газе. Только в этом случае в нее следует подставлять плотность газа и объем вытесненного газа, а не жидкости.

С учетом вышеизложенного закон Архимеда можно сформулировать так:

На всякое тело, погруженное в покоящуюся жидкость (или газ), действует со стороны этой жидкости (или газа) выталкивающая сила, равная произведению плотности жидкости (или газа), ускорения свободного падения и объема той части тела, которая погружена в жидкость (или газ).