Пружинный и математический маятник

Свободные колебания математического и пружинного маятников

Свободные колебания (или собственные колебания) — это колебания колебательной системы, совершаемые только благодаря первоначально сообщенной энергии (потенциальной или кинетической) при отсутствии внешних воздействий.

Потенциальная или кинетическая энергия может быть сообщена, например, в механических системах через начальное смещение или начальную скорость.

Свободно колеблющиеся тела всегда взаимодействуют с другими телами и вместе с ними образуют систему тел, которая называется колебательной системой.

Например, пружина, шарик и вертикальная стойка, к которой прикреплен верхний конец пружины, входят в колебательную систему. Здесь шарик свободно скользит по струне (силы трения пренебрежимо малы). Если отвести шарик вправо и предоставить его самому себе, он будет совершать свободные колебания около положения равновесия (точки О) вследствие действия силы упругости пружины, направленной к положению равновесия.

Другим классическим примером механической колебательной системы является математический маятник. В данном случае шарик совершает свободные колебания под действием двух сил: силы тяжести и силы упругости нити (в колебательную систему входит также Земля). Их равнодействующая направлена к положению равновесия. Силы, действующие между телами колебательной системы, называются внутренними силами. Внешними силами называются силы, действующие на систему со стороны тел, не входящих в нее. С этой точки зрения свободные колебания можно определить как колебания в системе под действием внутренних сил после того, как система выведена из положения равновесия.

Условиями возникновения свободных колебаний являются:

1. возникновение в них силы, возвращающей систему в положение устойчивого равновесия, после того как ее вывели из этого состояния;
2. отсутствие трения в системе.

Динамика свободных колебаний

Колебания тела под действием сил упругости. Уравнение колебательного движения тела под действием силы упругости ${\mathit{F}}_{\mathit{у}\mathit{п}\mathit{р}}$ может быть получено с учетом второго закона Ньютона ($\mathit{F}=\mathit{m}\mathit{a}$) и закона Гука (${\mathit{F}}_{\mathit{у}\mathit{п}\mathit{р}}=-\mathit{k}\mathit{x}$), где $\mathit{m}$ — масса шарика, $\mathit{а}$ — ускорение, приобретаемое шариком под действием силы упругости, $\mathit{k}$ — коэффициент жесткости пружины, $\mathit{х}$ — смещение тела от положения равновесия (оба уравнения записаны в проекции на горизонтальную ось $\mathit{О}\mathit{х}$). Приравнивая правые части этих уравнений и учитывая, что ускорение $\mathit{а}$ — это вторая производная от координаты $\mathit{х}$ (смещения), получим:

$\mathit{x}\prime \prime =-\frac{\mathit{k}}{\mathit{m}}\mathit{x}$

Это дифференциальное уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости: вторая производная координаты по времени {ускорение тела) прямо пропорциональна его координате, взятой с противоположным знаком.

Колебания математического маятника. Для получения уравнения колебания математического маятника необходимо разложить силу тяжести ${\mathit{F}}_{\mathit{т}}=\mathit{m}\mathit{g}$ на нормальную ${\mathit{F}}_{\mathit{n}}$ (направленную вдоль нити) и тангенциальную ${\mathit{F}}_{\mathit{\tau }}$ (касательную к траектории движения шарика — окружности) составляющие. Нормальная составляющая силы тяжести ${\mathit{F}}_{\mathit{n}}$ и сила упругости нити ${\mathit{F}}_{\mathit{у}\mathit{п}\mathit{р}}$ в сумме сообщают маятнику центростремительное ускорение, не влияющее на величину скорости, а лишь меняющее ее направление, а тангенциальная составляющая ${\mathit{F}}_{\mathit{\tau }}$ является той силой, которая возвращает шарик в положение равновесия и заставляет его совершать колебательные движения. Используя, как и в предыдущем случае, закон Ньютона для тангенциального ускорения — $\mathit{m}{\mathit{a}}_{\mathit{\tau }}={\mathit{F}}_{\mathit{\tau }}$ и учитывая, что ${\mathit{F}}_{\mathit{\tau }}=-\mathit{m}\mathit{g}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$, получим:

${\mathit{a}}_{\mathit{\tau }}=-\mathit{g}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }$

Знак минус появился потому, что сила и угол отклонения от положения равновесия $\mathit{\alpha }$ имеют противоположные знаки. Для малых углов отклонения $\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\alpha }\approx \mathit{\alpha }$. В свою очередь, $\mathit{\alpha }=\frac{\mathit{s}}{\mathit{l}}$, где $\mathit{s}$ — дуга $\mathit{О}\mathit{А}$, $\mathit{l}$ — длина нити. Учитывая, что ${\mathit{a}}_{\mathit{\tau }}=\mathit{s}\prime \prime$, окончательно получим:

$\mathit{s}\prime \prime =\frac{\mathit{g}}{\mathit{l}}\mathit{s}$

Вид уравнения $\mathit{s}\prime \prime =\frac{\mathit{g}}{\mathit{l}}\mathit{s}$ аналогичен уравнению $\mathit{x}\prime \prime =-\frac{\mathit{k}}{\mathit{m}}\mathit{x}$. Только здесь параметрами системы являются длина нити и ускорение свободного падения, а не жесткость пружины и масса шарика; роль координаты играет длина дуги (т. е. пройденный путь, как и в первом случае).

Таким образом, свободные колебания описываются уравнениями одного вида (подчиняются одним и тем же законам) независимо от физической природы сил, вызывающих эти колебания.

Решением уравнений $\mathit{x}\prime \prime =-\frac{\mathit{k}}{\mathit{m}}\mathit{x}$ и $\mathit{s}\prime \prime =\frac{\mathit{g}}{\mathit{l}}\mathit{s}$ является функция вида:

$\mathit{x}={\mathit{x}}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}$(или $\mathit{x}={\mathit{x}}_{\mathit{m}}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}$)

То есть координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону косинуса или синуса, и, следовательно, эти колебания являются гармоническими.

В уравнении $\mathit{x}={\mathit{x}}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}$ хт— амплитуда колебания, ${\mathit{\omega }}_0$ — собственная циклическая (круговая) частота колебаний.

Циклическая частота и период свободных гармонических колебаний определяются свойствами системы. Так, для колебаний тела, прикрепленного к пружине, справедливы соотношения:

${\mathit{\omega }}_0=\sqrt{\frac{\mathit{k}}{\mathit{m}}};\mathit{T}=2\mathit{\pi }\sqrt{\frac{\mathit{m}}{\mathit{k}}}$

Собственная частота тем больше, чем больше жесткость пружины или меньше масса груза, что вполне подтверждается опытом.

Для математического маятника выполняются равенства:

${\mathit{\omega }}_0=\sqrt{\frac{\mathit{g}}{\mathit{l}}};\mathit{T}=2\mathit{\pi }\sqrt{\frac{\mathit{l}}{\mathit{g}}}$

Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Гюйгенсом (современником Ньютона).

Период колебаний возрастает с увеличением длины маятника и не зависит от его массы.

Следует особо обратить внимание на то, что гармонические колебания являются строго периодическими (т. к. подчиняются закону синуса или косинуса) и даже для математического маятника, являющегося идеализацией реального (физического) маятника, возможны только при малых углах колебания. Если углы отклонения велики, смещение груза не будет пропорционально углу отклонения (синусу угла) и ускорение не будет пропорционально смещению.

Скорость и ускорение тела, совершающего свободные колебания, также будут совершать гармонические колебания. Беря производную по времени функции $\mathit{x}={\mathit{x}}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}$, получим выражение для скорости:

$\mathit{x}\prime =\mathit{\upsilon }=-{\mathit{x}}_{\mathit{m}}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}={\mathit{\upsilon }}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left({\mathit{\omega }}_0\mathit{t}+\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)$

где ${\mathit{\upsilon }}_{\mathit{m}}$ — амплитуда скорости.

Аналогично выражение для ускорения а получим, дифференцируя $\mathit{x}\prime =\mathit{\upsilon }=-{\mathit{x}}_{\mathit{m}}·\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}={\mathit{\upsilon }}_{\mathit{m}}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left({\mathit{\omega }}_0\mathit{t}+\frac{\mathit{\pi }}{2}\right)$:

$\mathit{a}=\mathit{x}\prime \prime =\mathit{\upsilon }\prime -{\mathit{x}}_{\mathit{m}}{\mathit{\omega }}_0^2\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}{\mathit{\omega }}_0\mathit{t}={\mathit{a}}_{\mathit{m}}·\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\left({\mathit{\omega }}_0\mathit{t}+\mathit{\pi }\right)$

где ${\mathit{a}}_{\mathit{m}}$ — амплитуда ускорения. Таким образом, из полученных уравнений следует, что амплитуда скорости гармонических колебаний пропорциональна частоте, а амплитуда ускорения — квадрату частоты колебания:

${\mathit{\upsilon }}_{\mathit{m}}={\mathit{\omega }}_0{\mathit{x}}_{\mathit{m}};{\mathit{a}}_{\mathit{m}}={\mathit{\omega }}_0^2{\mathit{x}}_{\mathit{m}}$