Баллистика. Вертикальный бросок. Бросок под углом к горизонту

Свободное падение. Ускорение свободного падения

Свободное падение

Свободным падением называется движение тела, обусловленное притяжением Земли, при отсутствии начальной скорости и сопротивления среды.

Свободно падающее тело движется поступательно, прямолинейно и равноускоренно. Ускорение, с которым движется тело, называется ускорением свободного падения и обозначается буквой $g$. Формулы, описывающие движение свободно падающего тела, не содержат коэффициентов, зависящих от его формы и массы.

Другими словами, тела разной массы, которые мы уронили с одной высоты, достигнут поверхности земли за одно и то же время. Кажущееся несовпадение последнего утверждения с нашим каждодневным опытом (например, все знают, что пушинка будет падать гораздо дольше, чем стальной шарик) связано с сопротивлением воздуха, т. е. с дополнительной силой, направленной вверх, следовательно, такое падение не является свободным. В этом можно убедиться на следующем опыте, впервые проведенном Ньютоном. Если взять пробирку длиной $1 м$ и опустить в нее одновременно свинцовый шарик, птичье перо и пробку, то все три предмета упадут на дно трубки в разное время: сначала шарик, затем пробка, последним — перо. Если теперь из пробирки откачать воздух и перевернуть ее вверх дном, можно увидеть, что все три предмета достигнут дна одновременно.

Впервые независимость ускорения свободного падения от массы тела опытным путем установил Галилей в конце XVI в. Для этого он одновременно ронял шары одинакового размера, но разные по весу (чугунный и деревянный), с Пизанской башни. Оба шара достигали земли практически одновременно.

Свободное падение тел является примером прямолинейного равноускоренного движения.

Для определения высоты тела над землей к при свободном падении можно воспользоваться уравнением при следующих начальных условиях: $h_0=0, υ_0=0, a=g$, что означает следующее: ось $h$ направлена вниз, начало ее помещено в точку, в которой тело выронили:

$h={gt^2}/{2}$

График зависимости высоты от времени является параболой. Из формулы следует, что скорость связана с высотой соотношением:

$υ=√{2gh}$

Формулы справедливы для любого прямолинейного движения с постоянным ускорением и нулевой начальной скоростью, а не только для свободного падения.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Тело, брошенное под углом а к горизонту с начальной скоростью ${υ_0}↖{→}$, будет двигаться по криволинейной траектории, в любой точке которой вектор скорости может быть разложен на две составляющие — горизонтальную и вертикальную.

Проекции этих векторов на оси координат, начало которых выбрано в точке бросания, равны:

$υ_x=υ_{0}cosα,$

$υ_h=υ_{0}sinα.$

При этом горизонтальная составляющая скорости не будет меняться с течением времени, т. к. ускорение свободного падения не имеет горизонтальной составляющей, а направлено вертикально вниз. Вертикальная составляющая скорости будет меняться по закону равнопеременного движения с ускорением $a=g:υ_x(t)=υ_{0}cosα,υ_h(t)=υ_{0}sinα-gt.$

Изменение координат тела согласно уравнению имеет вид:

$x=υ_{0}cosαt,$

$h=υ_{0}sinαt-{gt^2}/{2}$.

Для случая, когда точка бросания не совпадает с началом координат ($x_0≈0, h_0≈0$), получим:

$x=x_0+υ_{0}cosα·t;$

$h=hx_0+υ_{0}sinα·t-{gt^2}/{2}.$

В уравнении учтено, что ускорение силы тяжести направлено вниз (знак «—» перед вторым членом). Последняя пара уравнений позволяет найти уравнение траектории движения точки, которое представляет собой зависимость одной координаты от другой. Для этого из уравнений исключим время и после простых преобразований получим:

$h=x·tgα-{g}/{2υ_0^2-cos^2α}·x^2.$

Если ввести обозначения $tgα=c$ и ${g}/{2υ_0^2-cos^2α}=b,$ последнее уравнение примет вид:

$y=bx^2+cx,$

что является уравнением параболы с осью, параллельной вертикальной оси.

Таким образом, траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу. В вершине этой параболы вертикальная составляющая скорости равна нулю. В точке падения скорость тела равна по абсолютной величине скорости тела в точке бросания, а направление ее составляет тот же угол, что и в точке бросания (взятый с противоположным знаком). Это следует из симметрии параболы и имеет место в отсутствие сопротивления воздуха.

Траектория тела, брошенного горизонтально, также представляет собой параболу: тело будет двигаться по одной из ветвей параболы с вершиной в точке бросания.