Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Задачи с физическим смыслом

Задачи с физическим смыслом содержат физические и математические формулы, в которых необходимо отыскать неизвестную величину.

Основные правила выражения неизвестной из формул:

  1. Все величины, кроме искомой, считаются известными данными.
  2. Для выражения неизвестной величины пользуемся теми же правилами, что и в математике при решении уравнений.
  3. Надо добиться того, чтобы неизвестная величина оказалась одна с левой стороны равенства, например:

Из формулы $h=vt-{gt^2}/{2}$ выразить $v$

Решение:

Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная была с левой стороны

$vt-{gt^2}/{2}=h$

Далее избавим ее от известных величин, для этого перенесем ${gt^2}/{2}$ как известное слагаемое в правую сторону. При переносе через знак равно, знак слагаемого меняется на противоположный.

$vt=h+{gt^2}/{2}$

Неизвестной мешает только $t$. Так как $t$ умножается на неизвестную, делаем противоположное математическое действие: делим всю правую часть на $t$.

$v={h+{gt^2}/{2}}/{t}$.

Неизвестная величина осталась одна с левой стороны в равенстве, следовательно, мы ее выразили.



Полезным будет вспомнить единицы измерения физических величин их взаимосвязь:

Длины.

$мм⇄↙{·10}↖{:10}см⇄↙{·10}↖{:10}дм⇄↙{·10}↖{:10}м⇄↙{·1000}↖{:1000}км$

Массы.

$гр⇄↙{·1000}↖{:1000}кг⇄↙{·100}↖{:100}центнер⇄↙{·10}↖{:10}тонна$

Площади.

$мм^2⇄↙{·10}↖{:10}см^2⇄↙{·10}↖{:10}дм^2⇄↙{·100}↖{:100}м^2⇄↙{·1000000}↖{:1000000}км^2$

Чтобы перейти из км/ч в м/с необходимо величину разделить на $3.6$.

Пример:

При температуре 0℃ рельс имеет длину $l_0=14м$. При увеличении температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону $l(t)=l_0(1+αt)$, где $α=1.2·10^{-5}(℃^{-1})$ - коэффициент теплового расширения, $t$ - температура в градусах Цельсия. При какой температуре рельс удлинится на $2.1$ мм? Ответ выразите в градусах.

Решение:

Чтобы упорядочить приведенные величины, запишем их в дано:

Дано: $l_0=14$м

$t_0=0℃$

$∆l=2.1$мм$=0.0021$м

$α=1.2·10^{-5}(℃^{-1})$

$t-?$

В дано сразу видим, что начальная длинна и разность длин $(∆l)$ имеют разные единицы измерения. Необходимо миллиметры перевести в метры, для этого число надо поделить на тысячу.

$2.1мм =0.0021м$

Далее запишем формулу

$l(t)=l_0(1+αt)$ и выразим из нее температуру $(t)$.

Для этого необходимо раскрыть скобки

$l(t)=l_0+l_{0}αt$

Поменяем части уравнения местами, так, чтобы неизвестная величина оказалась в левой части (так привычнее для решения)

$l_0+l_{0}αt=l(t)$

Перенесем $l_0$ в правую часть уравнения, так как это известная величина, при переносе через равно меняем знак на противоположный.

$l_{0}αt=l(t)-l_0$, где $l(t)-l_0=∆l$

$l_{0}αt=∆l$

Чтобы выразить t надо правую часть уравнения поделить на $l_{0}α$

$t={∆l}/{l_{0}α}$

Теперь подставим числовые значения в выраженную формулу

$t={∆l}/{l_{0}α}={0.0021}/{14·1.2·10^{-5}}$

Домножим дробь на $100000$, чтобы числа было легче считать

$t={∆l}/{l_{0}α}={0.0021}/{14·1.2·10^{-5}}={210}/{14·1.2}=12.5℃$

Ответ: $12.5$

Для успешного решения задач можно не выражать неизвестную величину из буквенной формулы, а сразу подставить в буквенную формулу все соответствующие числовые значения и найти неизвестную величину. Чтобы облегчить решение задач, лучше упорядочить приведенную информацию: записать в дано все известные величины с их единицами измерения и численными значениями. Проверить единицы измерения. Записать отдельно формулу. Все задачи далее можно разделить на:

  • Сводящиеся к уравнениям (линейным, квадратным, иррациональным, рациональным, логарифмическим, тригонометрическим).
  • Сводящиеся к неравенствам (линейным, квадратным, иррациональным, рациональным, логарифмическим).

Пример:

Автомобиль, движущийся с начальной скоростью $v_0=20$м/с, начал торможение с постоянным ускорением $а=5$м/с. За $t$ секунд после начала торможения он прошел путь $S=v_{0}t-{at^2}/{2}$(м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $30$м. Ответ дайте в секундах.

Решение:

Запишем дано: $v_0=20$м/с

$а=5$м/с

$S=30$м

$t-?$

Запишем формулу $S=v_{0}t-{at^2}/{2}$. Из формулы видно, что неизвестная у нас встречается несколько раз. В таких случаях проще сразу заменить буквы на их числовые значения

$30=20t-{5t^2}/{2}$

Получили квадратное уравнение, теперь его немного упростим: для этого перенесем все слагаемые в левую часть и домножим уравнение на ${2}/{5}$, чтобы получить целочисленные коэффициенты.

$t^2-8t+12=0$

По теореме Виета

$t_1+t_2=8$

$t_1·t_2=12$

Нам подходят $t_1=6$ и $t_2=2$

Из двух вариантов выбираем $t=2$, так как этого времени достаточно, чтобы автомобиль полностью остановился.

Ответ: $2$



Теперь разберем задачи, в которых получаются неравенства. Для решения таких задач так же кратко записываем дано и формулу. В дальнейшем подставляем известные данные в формулу и оцениваем, какое получается неравенство. В большинстве случаев получаются квадратные или линейные неравенства.

Пример:

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением $T(t)=T_0+bt+at^2$, где $t$ – время в минутах, $T_0=1400К$, $a=-10$К/мин, $b=200$К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше $1760$К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Записываем дано: $T_0=1400$К

$a=-10$К/мин

$b=200$К/мин

$T(t)≤1760$K (Так как свыше этой температуры прибор сгорит).

$t-?$

$T(t)=T_0+bt+at^2$

Так как $T(t)≤1760$K, то и выражение $T_0+bt+at^2≤1760$K

Подставим числовые значения и получим квадратное неравенство

$1400+200t-10t^2≤1760$

В квадратном неравенстве необходимо все значения перенести в левую сторону и расставить слагаемые в порядке убывания степеней у неизвестного

$-10t^2+200t+1400-1760≤0$

$-10t^2+200t-360≤0$

Разделим все неравенство на $(-10)$. Важно помнить, что при делении или умножении неравенства на отрицательное значение, знак неравенства меняется на противоположный.

$t^2-20t+36≥0$

Решим данное неравенство методом интервалов: для этого надо найти корни выражения и разложить его на множители.

$t^2-20t+36=0$

$t_1=2$

$t_2=18$

$(t-2)(t-18)≥0$

Расставим корни на числовой оси.

Определим знак правой крайней области, для этого в разложенное уравнение вместо t надо подставить число, которое больше корней.

$(100-2)(100-18)$ результат будет положительным числом, следовательно, в крайней правой области на числовой ось знак плюс, а далее знаки чередуются.

Решение неравенства $(-∞;2]∪[8;+∞)$

Через $2$ минуты после включения прибор нагреется до $1760$К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через $2$ минуты.

Ответ: $2$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?