Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С)

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

$а_1$ - первый член арифметической прогрессии

$d$ - разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_{n+1}-a_n$

$a_n$ - член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ - номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ - сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

$b_1$ - первый член геометрической прогрессии

$q$ - знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ - $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ - сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

В задачах на прогрессии важно:

  1. Определить тип прогрессии
  2. Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
  3. Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.

Пример:

Предприниматель Петров получил в $2000$ году прибыль в размере $5000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $300%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2003 год?

Решение:

Для начала посчитаем увеличение прибыли: так как она увеличивалась на $300%$, то $100%+300%=400%$. $400%$ - это то же самое, что увеличение прибыли в $4$ раза.

Данная задача на геометрическую прогрессию, так как прибыль увеличивалась В четыре раза по сравнению с предыдущим годом.

Запишем дано: $b_1=5000$ - первая прибыль

$q=4$ - величина, показывающая, во сколько раз увеличивалась прибыль каждый год

$n=4$, так как с $2000$ по $2003$ прошло $4$ года (т.к. 2000 - 1й год, 2001 - 2й, 2002 - 3й, 2003 -4й)

$b_4-?$ - количество заработанных денег в четвертый год от начала прибыли

Запишем формулу для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Подставим известные величины из дано и найдем $b_4$:

$b_4=5000·4^3=320000$

Ответ: $320000$

Процент – это сотая доля числа.

Процент обозначается символом $%$.

  1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на 100 и умножить на величину процента. $%$ от $а={а·%}/{100}$.
  2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Задачи на скидки:

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

  1. Из $100%$ отнять процент скидки.
  2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Пример:

Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.

Решение:

Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100%-20%=80%$

Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.

${4500·80}/{100}=3600$ рублей- это цена куртки, после скидки.

Ответ: $3600$

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

  1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
  2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

  1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
  2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$

Пример:

Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Пусть $х%$ - концентрация получившегося раствора.

Составим к задаче схему.

$1$ раствор
Масса - $2$кг
Процентное содержание вещества - $15%$
$2$ раствор
Масса - $8$кг
Процентное содержание вещества - $10%$
Смесь растворов
Масса – $2$кг$+8$кг$=10$кг
Процентное содержание вещества - $х%$

Составим уравнение:

$15%·2+10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах

$15·2+10·8=10·х$

$30+80=10х$

$10х=110$

$х=11%$ - концентрация получившегося раствора.

Ответ: $11$



Задачи на сложные проценты.

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

  1. $S_0$ - начальный вклад;
  2. $S_n$ - накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
  3. $р$ - годовую процентную ставку;
  4. $n$ - время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

$S_n=S_0(1+{p}/{100})^n$

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=({√^n{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

$S_0={S_n}/{(1+{p}/{100})^n}$

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

$n={ln⁡S_n-ln⁡S_0}/{ln⁡(1+{p}/{100})}$

Пример:

В стране поставили задачу удвоения ВВП за $2$ года. Сколько процентов должен составить рост ВВП за год? (Результат округлите до целого числа.)

Решение:

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=(√^n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Нам известно, что ВВП увеличилось в два раза, следовательно, ${S_n}/{S_0}=2$

n- это количество лет, следовательно, $n=2$

Подставим известные величины в формулу

$p=(√^2{2}-1)∙100$

$√^2{2}≈1.41$

$p=(1.41-1)·100=0.41·100=41%$

Ответ: $41$


Пример:

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $30000$ рублей, через два года он был продан за $21675$ рублей.

Решение:

В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=(√^n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Так как цена на товар не увеличивалась, а уменьшалась, то формулу необходимо изменить

$p=(1-√^n{{S_n}/{S_0}})·100$

Подставим известные данные в формулу

$p=(1-√^2{{21675}/{30000}})·100=(1-√{0.7225})·100=(1-0.85)·100=15%$

Ответ: $15$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?