Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С)
Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.
$а_1$ - первый член арифметической прогрессии
$d$ - разность между последующим и текущим членом прогрессии
$d=a_{n+1}-a_n$
$a_n$ - член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте
$n$ - номер места для членов арифметической прогрессии
$S_n$ - сумма первых n членов арифметической прогрессии
Формула для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$a_n=a_1+d(n-1)$
Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:
$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.
$b_1$ - первый член геометрической прогрессии
$q$ - знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.
$q={b_{n+1}}/{b_n}$
$b_n$ - $n$-ый член геометрической прогрессии
$S_n$ - сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии
Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$b_n=b_1·q^{n-1}$
Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$
В задачах на прогрессии важно:
- Определить тип прогрессии
- Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
- Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.
Пример:
Предприниматель Петров получил в $2000$ году прибыль в размере $5000$ рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на $300%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Петров за 2003 год?
Решение:
Для начала посчитаем увеличение прибыли: так как она увеличивалась на $300%$, то $100%+300%=400%$. $400%$ - это то же самое, что увеличение прибыли в $4$ раза.
Данная задача на геометрическую прогрессию, так как прибыль увеличивалась В четыре раза по сравнению с предыдущим годом.
Запишем дано: $b_1=5000$ - первая прибыль
$q=4$ - величина, показывающая, во сколько раз увеличивалась прибыль каждый год
$n=4$, так как с $2000$ по $2003$ прошло $4$ года (т.к. 2000 - 1й год, 2001 - 2й, 2002 - 3й, 2003 -4й)
$b_4-?$ - количество заработанных денег в четвертый год от начала прибыли
Запишем формулу для нахождения $n$-ого члена прогрессии:
$b_n=b_1·q^{n-1}$
Подставим известные величины из дано и найдем $b_4$:
$b_4=5000·4^3=320000$
Ответ: $320000$
Процент – это сотая доля числа.
Процент обозначается символом $%$.
- Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на 100 и умножить на величину процента. $%$ от $а={а·%}/{100}$.
- Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.
Задачи на скидки:
Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:
- Из $100%$ отнять процент скидки.
- Найти полученный процент от полной стоимости товара.
Пример:
Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки.
Решение:
Найдем, сколько процентов будет стоить куртка, после скидки: $100%-20%=80%$
Посчитаем, сколько составляет 80% от 4500 рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
${4500·80}/{100}=3600$ рублей- это цена куртки, после скидки.
Ответ: $3600$
Задачи на смеси и сплавы.
В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:
- Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
- Процентное содержание чистого вещества в растворе.
Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:
- Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
- Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.
Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.
$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$
Пример:
Смешали $2$ кг $15%$-ного водного раствора некоторого вещества с $8$ кг $10%$-ного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
Пусть $х%$ - концентрация получившегося раствора.
Составим к задаче схему.
$1$ раствор Масса - $2$кг Процентное содержание вещества - $15%$ |
$2$ раствор Масса - $8$кг Процентное содержание вещества - $10%$ |
Смесь растворов Масса – $2$кг$+8$кг$=10$кг Процентное содержание вещества - $х%$ |
Составим уравнение:
$15%·2+10%·8=х%·10$ Уберем в уравнении знак процента, чтобы он не мешал при расчетах
$15·2+10·8=10·х$
$30+80=10х$
$10х=110$
$х=11%$ - концентрация получившегося раствора.
Ответ: $11$
Задачи на сложные проценты.
Формула сложных процентов связывает четыре величины:
- $S_0$ - начальный вклад;
- $S_n$ - накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
- $р$ - годовую процентную ставку;
- $n$ - время в годах, кварталах или месяцах.
Зная три величины, всегда можно найти четвертую:
$S_n=S_0(1+{p}/{100})^n$
Для определения количество процентов $р$ необходимо:
$p=({√^n{S_n}/{S_0}}-1)·100$
Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:
$S_0={S_n}/{(1+{p}/{100})^n}$
Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.
$n={lnS_n-lnS_0}/{ln(1+{p}/{100})}$
Пример:
В стране поставили задачу удвоения ВВП за $2$ года. Сколько процентов должен составить рост ВВП за год? (Результат округлите до целого числа.)
Решение:
В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.
Для определения количество процентов $р$ необходимо:
$p=(√^n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$
Нам известно, что ВВП увеличилось в два раза, следовательно, ${S_n}/{S_0}=2$
n- это количество лет, следовательно, $n=2$
Подставим известные величины в формулу
$p=(√^2{2}-1)∙100$
$√^2{2}≈1.41$
$p=(1.41-1)·100=0.41·100=41%$
Ответ: $41$
Пример:
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $30000$ рублей, через два года он был продан за $21675$ рублей.
Решение:
В данной задаче воспользуемся формулой сложных процентов.
Для определения количество процентов $р$ необходимо:
$p=(√^n{{S_n}/{S_0}}-1)·100$
Так как цена на товар не увеличивалась, а уменьшалась, то формулу необходимо изменить
$p=(1-√^n{{S_n}/{S_0}})·100$
Подставим известные данные в формулу
$p=(1-√^2{{21675}/{30000}})·100=(1-√{0.7225})·100=(1-0.85)·100=15%$
Ответ: $15$