Задачи на прогрессии и проценты (включая часть С)

$а_1$ - первый член арифметической прогрессии

$d$ - разность между последующим и предыдущим членом прогрессии

$d=a_{n+1}-a_n$

$a_n$ - член арифметической прогрессии, стоящий на $n$-ом месте

$n$ - номер места для членов арифметической прогрессии

$S_n$ - сумма первых n членов арифметической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n={(a_1+a_n)·n}/{2}$

$b_1$ - первый член геометрической прогрессии

$q$ - знаменатель геометрической прогрессии, показывает во сколько раз последующее число больше предыдущего.

$q={b_{n+1}}/{b_n}$

$b_n$ - $n$-ый член геометрической прогрессии

$S_n$ - сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии

Формула, для нахождения $n$-ого члена прогрессии:

$b_n=b_1·q^{n-1}$

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n={b_1·(q^n-1)}/{q-1},q≠1$

В задачах на прогрессии важно:

1. Определить тип прогрессии
2. Верно сопоставить приведенные величины с их обозначением в формулах, записать дано.
3. Подставить известные данные в формулу и вывести неизвестную величину.

Процент обозначается символом $%$.

1. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на 100 и умножить на величину процента. $%$ от $а={а·%}/{100}$.
2. Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.

Задачи на скидки:

Скидка — это понижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.

Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:

1. Из $100%$ отнять процент скидки.
2. Найти полученный процент от полной стоимости товара.

Задачи на смеси и сплавы.

В задачах на растворы и сплавы для удобства решения можно делать схему, для каждого раствора в схеме необходимо записать две величины:

1. Массу или объем, в зависимости от условия задачи;
2. Процентное содержание чистого вещества в растворе.

Потом, если мы смешиваем составы, для смешанного вещества тоже записываем:

1. Массу или объем полученной смеси – она равна сумме масс или объемов изначальных растворов.
2. Процентное содержание чистого вещества в полученной смеси.

Далее составляем уравнение, для этого надо процентное содержание чистого вещества умножить на массу своего раствора, сложить получившиеся величины каждого раствора и все это приравнять к полученной величине смеси.

$m_{1 раствора}·%_{1 вещества}+m_{2 раствора}·%_{2 вещества}=m_{смеси}·%_{смеси}$

Задачи на сложные проценты.

Формула сложных процентов связывает четыре величины:

1. $S_0$ - начальный вклад;
2. $S_n$ - накопленную сумму (будущую стоимость вклада);
3. $р$ - годовую процентную ставку;
4. $n$ - время в годах, кварталах или месяцах.

Зная три величины, всегда можно найти четвертую:

$S_n=S_0(1+{p}/{100})^n$

Для определения количество процентов $р$ необходимо:

$p=({√^n{S_n}/{S_0}}-1)·100$

Операция нахождения первоначального вклада $S_0$, если известно, что через n лет он должен составить сумму $S_n$, называется дисконтированием:

$S_0={S_n}/{(1+{p}/{100})^n}$

Сколько лет вклад $S_0$ должен пролежать в банке под $р%$ годовых, чтобы достигнуть величины $S_n$.

$n={ln⁡S_n-ln⁡S_0}/{ln⁡(1+{p}/{100})}$