Задачи на движение по воде
Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки
$v=v_{собственная}+v_{течения реки}$
Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки
$v=v_{собственная}-v_{течения реки}$
Пример:
Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение:
Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.
Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.
Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.
$S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
По течению | $(x+4)$ | ||
Против течения | $(x-4)$ |
Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$
$S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
По течению | $120$ | $(x+4)$ | |
Против течения | $120$ | $(x-4)$ |
Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$
$S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
По течению | $120$ | $(x+4)$ | ${120}/{(х+4)}$ |
Против течения | $120$ | $(x-4)$ | ${120}/{(х-4)}$ |
Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.
${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}=4$
Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.
${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}-4=0$
Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:
${120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)}/{(х-4)(х+4)}=0$
Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0; (х-4)(х+4)≠0$
Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)
$(х-4)(х+4)≠0$
$х-4≠0$ или $х+4≠0$
$х≠4$ или $х≠-4$
Найдем корни числителя.
$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0$
Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$120х+480-120х+480-4х^2+64=0$
$-4х^2+1024=0$
$-4х^2=-1024$
Разделим обе части уравнения на $(-4)$
$х^2=256$
$х_{1,2}=±16$
Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч
Ответ: $16$
Пример:
От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.
Решение:
Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.
Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t={S}/{v}$
$S$(км) | $v$(км/ч) | $t$(ч) | |
Первый теплоход | $70$ | $x$ | ${70}/{х}$ |
Второй теплоход | $70$ | $(x+8)$ | ${70}/{(х+8)}$ |
Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен
${70}/{х}-{70}/{(х+8)}=1$
${70}/{х}-{70}/{(х+8)}-1=0$
Приводим дроби к общему знаменателю
${70(х+8)-70х-х(х+8)}/{х(х+8)}=0$
${70х+560-70х-х^2-8х}/{х(х+8)}=0$
Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)
$х(х+8)≠0$
$х≠0$ или $х+8≠0; х≠-8$
Найдем корни числителя
$70х+560-70х-х^2-8х=0$
$-х^2-8х+560=0$
$х^2+8х-560=0$
По т.Виета $х_1+х_2=-8$
$х_1∙х_2=-560$
$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.
Ответ: $20$