Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Задачи на движение по воде

Большинство задач на движение по воде могут быть решены при помощи следующего алгоритма:

1. Cоставляем таблицу со столбцами «Скорость», «Время», «Расстояние»;

2. чаще всего за неизвестную $«х»$ берется либо скорость течения, либо собственная скорость транспортного средства;

3. заполняем два столбца таблицы, вписывая в них неизвестную величину и данные задачи;

4. заполняем оставшийся «ключевой» третий столбец, используя одну из формул

$S=t∙v; t={S}/{v}; v={S}/{t}$, где $S$ - это пройденный путь, или расстояние, $v$ – скорость движения, $t$ – время движения

5. составляем уравнение по данным ключевого столбца таблицы;

6. решаем полученное уравнение на области определения $x$, и находим неизвестную.

Скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки

$v=v_{собственная}+v_{течения реки}$

Чтобы найти скорость против течения, нужно отнять от собственной скорости транспортного средства скорость течения реки

$v=v_{собственная}-v_{течения реки}$

Пример:

Катер прошел против течения реки $120$ км и вернулся обратно, затратив на обратный путь на $4$ часа меньше времени. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки $4$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Для начала необходимо за «х» взять неизвестную. В нашем случае(и чаще всего) за «х» берется скорость.

Пусть $х$ км/ч – собственная скорость катера, тогда $(х+4)$ км/ч – скорость катера по течению; $(х-4)$ км/ч – скорость катера против течения.

Создаем стандартную таблицу и столбец $«v»$ заполняем данными с неизвестными.

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению   $(x+4)$  
Против течения   $(x-4)$  

Так как расстояние, которое катер проплыл по течению и против течения одинаково и равно $120$ км, заполняем столбец $«S»$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению $120$ $(x+4)$  
Против течения $120$ $(x-4)$  

Третий столбец заполняем по формуле $t={S}/{v}$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
По течению $120$ $(x+4)$ ${120}/{(х+4)}$
Против течения $120$ $(x-4)$ ${120}/{(х-4)}$

Именно содержимое третьего столбца будем использовать для составления уравнения к задаче. По условию задачи разница между временами движения против течения и по течению равна $4$ часа, следовательно, из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}=4$

Решим полученное дробно рациональное уравнение, для этого перенесем все слагаемые в левую часть.

${120}/{(х-4)}-{120}/{(х+4)}-4=0$

Приведем дроби к общему знаменателю $(х-4)(х+4)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель равен $(х+4)$, ко второй $(х-4)$, а к третьему слагаемому $(х+4)(х-4)$. Получаем:

${120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)}/{(х-4)(х+4)}=0$

Далее проговариваем: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0; (х-4)(х+4)≠0$

Найдем сначала корни знаменателя (ОДЗ дроби)

$(х-4)(х+4)≠0$

$х-4≠0$ или $х+4≠0$

$х≠4$ или $х≠-4$

Найдем корни числителя.

$120(х+4)-120(х-4)-4(х-4)(х+4)=0$

Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

$120х+480-120х+480-4х^2+64=0$

$-4х^2+1024=0$

$-4х^2=-1024$

Разделим обе части уравнения на $(-4)$

$х^2=256$

$х_{1,2}=±16$

Так как за «х» мы брали собственную скорость катера, а она отрицательной быть не может, следовательно, нам подходит только корень $х=16$ км/ч

Ответ: $16$



Пример:

От пристани $А$ к пристани $В$, расстояние между которыми равно $70$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью, на $8$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $В$ оба теплохода прибыли одновременно.

Решение:

Пусть $х$ км/ч- это скорость первого теплохода, тогда $(х+8)$ км/ч –это скорость второго теплохода.

Составим таблицу, в которой заполним столбцы путь $«S»$ и скорость $«v»$ по условию задачи, а третий столбец время $«t»$ заполним по формуле $t={S}/{v}$

  $S$(км) $v$(км/ч) $t$(ч)
Первый теплоход $70$ $x$ ${70}/{х}$
Второй теплоход $70$ $(x+8)$ ${70}/{(х+8)}$

Так как второй теплоход выехал на час позже, то время его в пути на час меньше относительно времени первого теплохода. Составим и решим уравнение: из большего времени отнимаем меньшее время и все это равно разнице времен

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}=1$

${70}/{х}-{70}/{(х+8)}-1=0$

Приводим дроби к общему знаменателю

${70(х+8)-70х-х(х+8)}/{х(х+8)}=0$

${70х+560-70х-х^2-8х}/{х(х+8)}=0$

Найдем сначала корни знаменателя(ОДЗ дроби)

$х(х+8)≠0$

$х≠0$ или $х+8≠0; х≠-8$

Найдем корни числителя

$70х+560-70х-х^2-8х=0$

$-х^2-8х+560=0$

$х^2+8х-560=0$

По т.Виета $х_1+х_2=-8$

$х_1∙х_2=-560$

$х_1=-28; х_2=20$, первый корень нам не подходит, так как он отрицательный, следовательно скорость первого теплохода равна $20$ км/ч.

Ответ: $20$



Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?