Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Вписанные и описанные окружности

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник- описанным около этой окружности. 

В любой треугольник можно вписать окружность. Центром вписанной окружности (точка $О$) является точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника.


$OD$ – это радиус $(r)$ вписанной окружности

$r={2S_{ABC}}/{a+b+c}$ 

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

В равнобедренном треугольнике вписанная окружность точкой касания делит основание пополам 

В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен трети высоты данного треугольника.

$r={h}/{3}$

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ катет и гипотенуза соответственно равны $8$ и $10$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен:

$r={a+b-c}/{2}$, где $а$ и $b$ – это катеты, $с$ – гипотенуза.

Нам неизвестен один из катетов, найдем его по теореме Пифагора:

$a^2+b^2=c^2$

$8^2+b^2=10^2$

$64+b^2=100$

$b^2=100-64$

$b^2=36$

$b=6$

Теперь подставим все величины в формулу нахождения радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

$r={6+8-10}/{2}={4}/{2}=2$

Ответ: $2$



Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность. 

$АВ+CD=BC+AD$



В трапеции и ромбе центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис внутренних углов, радиус вписанной окружности равен половине высоты. 

$r={h}/{2}$

В квадрате радиус вписанной окружности равен половине стороны. 

$r={a}/{2}$

Площадь любого многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.

$S={P∙r}/{2}$

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник- вписанным в эту окружность.

Около любого треугольника можно описать окружность, причем только одну. Центром описанной окружности является точка $(О)$ пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$ОА$ - радиус описанной окружности $(R)$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности равен две трети высоты данного треугольника.

$R={2h}/{3}$

Центр описанной окружности может находиться в различных положениях относительно треугольника:

1. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

2. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит снаружи треугольника.

3. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

$R={c}/{2}$



Радиус описанной окружности можно найти как:

$R={a}/{2sin⁡A}={b}/{2sin⁡B}={c}/{2sin⁡C};$

$R={a∙b∙c}/{4S}$, где $S$ - это площадь заданного треугольника.

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $180°$, то только тогда около него можно описать окружность. 

$∠В+∠D=180°$

$∠A+∠C=180°$

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

$R={d}/{2}$

Только вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.




Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей:

$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника

$R$ - радиус описанной окружности

$r$ - радиус вписанной окружности

$n$ - количество сторон и углов

$a_n=2∙R∙sin{180°}/{n};$

$r=R∙cos{180°}/{n};$

$a_n=2∙r∙tg{180°}/{n}.$

Углы в окружности:

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается

$∠О=∪BmA$

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается 

$∠B={∪AmC}/{2}$

3. Угол между хордой и касательной равен половине дуги, заключенной внутри него.

$∠B={∪BmC}/{2}$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?