Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Векторы

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек является началом, а какая — концом, называется вектором.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначают ${(АВ)}↖{→}$ или строчной (маленькой) буквой, например ${а}↖{→}$

Любая точка плоскости является вектором. В этом случае вектор называется нулевым.

Модуль (длину) вектора обозначают $|АВ|↖{→}$.

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону.



Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.



Сумма векторов — это вектор, который можно получить двумя способами.

  1. Правило треугольника (А)
  2. Правило параллелограмма (Б)


Для любых векторов $a↖{→}, b↖{→}, c↖{→}$ справедливы равенства:

  1. $a↖{→}+b↖{→}=b↖{→}+a↖{→}$(переместительный закон)
  2. $(a↖{→}+b↖{→})+c↖{→}=a↖{→}+(b↖{→}+c↖{→})$ (сочетательный закон)



Разность векторов тоже можно получить двумя способами:

Если надо найти разность двух векторов, их необходимо отложить из одной точки. Результирующий вектор направлен к уменьшаемому.

Для любых $a↖{→}$ и $b↖{→}$ справедливо равенство $a↖{→}-b↖{→}=a↖{→}+({-b}↖{→})$


Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.$a↖{→}⋅b↖{→}=|a↖{→}|·|b↖{→}|·cos⁡α$

Ненулевые векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ перпендикулярны, если их произведение равно нулю.

Метод координат

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.

Для того чтобы векторы $a↖{→}$ и $b↖{→}$ были коллинеарными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство $a↖{→}=k·b↖{→}$, где $k$ - это некоторое число.

Координаты середины вектора равны средним арифметическим координат его концов.

Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Скалярное произведение векторов $a↖{→}$ {x1;y1} и $b↖{→}$ {x2;y2} в координатах находится по формуле $a↖{→}·b↖{→}= x1·x2+y1·y2$

Длина вектора $a↖{→}$ {x;y} вычисляется по формуле: $|a↖{→}|=√{x^2+y^2}$

Расстояние между двумя точками $M1(x1;y1)$ и $M2(x2; y2)$ находится по формуле $|M1M2|=√{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}$

Угол между ненулевыми векторами. Пусть угол между векторами $α$, тогда $cosα={a↖{→}·b↖{→}}/{|a↖{→}|·|b↖{→}|}={x1·x2+y1·y2}/{√{x1^2+y1^2}·√{x2^2+y2^2}}$

Найдите угол между векторами $a↖{→}$ и $b↖{→}$


Решение:

  1. Сначала нужно найти координаты векторов $a↖{→}$ {2-0;6-0} $b↖{→}${8-0;4-0}
  2. Найдем скалярное произведение векторов $a↖{→}·b↖{→} = 2·8+6·4=16+24=40$
  3. Найдем длины каждого вектора $|a↖{→}|= √{4+36}=√{40}; |b↖{→}|=√{64+16}=√{80}$
  4. Найдем косинус угла между векторами $cosα={40}/{√{40}·√{80}}={40}/{√{40·40·2}}={1}/{√2}={√2}/{2}$
  5. Найдем угол $α=arccos{√2}/{2}=45$

Ответ: 45

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?