Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Преобразование рациональных выражений

Преобразование рациональных выражений

Дроби

Правильные обыкновенные дроби - числитель меньше знаменателя

Пример:

${1}/{3}; {7}/{11}$

Неправильные обыкновенные дроби – числитель больше знаменателя.

Пример:

${7}/{5}; {11}/{6}$

Смешанные обыкновенные дроби – дроби, у которых имеется целая и дробная часть. Между целой и дробной частью стоит знак $+$, но его не пишут.

Пример:

$3{2}/{5}=3+{2}/{5}$

  • Чтобы перейти из смешанной дроби в неправильную дробь надо знаменатель умножить на целое значение, к этому результату прибавить числитель и записать полученное число в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Пример:

$3 {2}/{5}={3∙5+2}/{5}={17}/{5}$

  • Чтобы в неправильной дроби выделить целую часть надо в столбик делить числитель на знаменатель до последнего остатка, далее:
  1. Результат деления – это целая часть новой дроби.
  2. Остаток - это числитель новой дроби.
  3. Знаменатель остается прежним.

Пример: Выделить целую часть ${22}/{3}$

При делении $22$ на $3$ получаем $7$ в результате и $(1)$ в остатке, следовательно, ${22}/{3}={71}/{3}$

  • Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
  1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
  2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
  3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель. Если в результате получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть. Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
  • При умножении и делении дробей их надо подписать под общей чертой и сократить.
  • При делении дробей, вторую дробь переворачиваем.
  • При умножении или делении смешанных дробей, дроби надо перевести в неправильные.

Десятичная дробь — это любая числовая дробь, в знаменателе которой стоит степень десятки.

Пример:

${34}/{100}=0.34; {45}/{10}=4.5$

Десятичная запись — это форма записи десятичных дробей, где целая часть отделяется от дробной с помощью обычной точки или запятой. При этом сам разделитель (точка или запятая) называется десятичной точкой.

  • Сложение и вычитание десятичных дробей выполняют поразрядно. Удобно это выполнять в столбик. При этом десятичные дроби подписывают друг под другом так, чтобы запятая была под запятой. Добавляют или отнимают десятичные дроби, как натуральные числа, несмотря на запятой. В результате кому ставят под запятыми.

Пример:

$0.36+0.2=0.56$

$0.36+0.20=0.56$

$0.03-0.0012=0.0288$

$0.0300-0.0012=0.0288$

  • При умножении десятичных дробей надо:
  1. Выполнить умножение чисел, не обращая внимания на запятые.
  2. В результате с конца отделить количество знаков, равное сумме количества знаков у обоих множителей.

Пример:

Выполнить умножение $0.28·12.5$

  1. Умножим $28·125=3500$
  2. Отделим у $3500$ с конца три знака, так как у множителей было $2$ цифры после запятой и одна (вместе три), получаем $3.500$ или $3.5$.
  • Деление десятичных дробей
  1. Перевести все десятичные дроби в обычные. (Как дробь читается, так и записывается в обыкновенном виде , например $3.14$ (Три целых четырнадцать сотых ) можем записать как $3 {14}/{100}$ или ${314}/{100}$)
  2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую
  3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби.

Рациональные выражения - это целые и дробные выражения без знака корня, состоящие из чисел и букв, соединенных между собой знаками алгебраических действий.

Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит деление на буквенное выражение, например: ${2а}/{7с}$

Алгебраическое выражение, которое состоит только из действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

Пример:

$5а^5 ср^2$ - это одночлен, в котором $5$ - это коэффициент, а $а^5 ср^2$ - буквенная часть.

  • Чтобы возвести в степень одночлен, надо возвести в эту степень каждый сомножитель и полученные результаты перемножить.

Пример:

$(2а^2 хс^5)^3=8а^6 х^3 с^{15}$

Несколько одночленов, соединенных знаками сложения и вычитания, образуют многочлен.

Например: $4x^3-3xy+8y^5$ - это многочлен. Многочлен может обозначаться записью $Р(х)$ - это означает, что многочлен зависит от «х», если записать $Р(х+1)$ - это означает, что в многочлене вместо «х» надо сделать замену на скобку (х+1)

Пример:

Найдите значение выражения: $4(p(2x)−2p(x+3))$, если $p(x)=x−6$

Решение:

В данном условии задан многочлен, зависящий от «х», как $p(x)=x−6$.

Чтобы было понятнее, назовем исходный многочлен основной формулой, тогда, чтобы записать $p(2x)$, в основной формуле заменим «х» на «2х».

$p(2x)=2х-6$

Аналогично $p(x+3)= (х+3)-6 = х+3-6 = х-3$

Соберем все выражение: $4(p(2x)−2p(x+3))=4((2х-6)-2(х-3))$

Далее осталось раскрыть скобки и привести подобные слагаемые

$4((2х-6)-2(х-3))=4(2х-6-2х+6)=4∙0=0$

Ответ: $0$

  • В многочлене одинаковые или различные только коэффициентами одночлены называются подобными слагаемыми, только подобные слагаемые можно складывать или вычитать между собой. При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней. <

Пример:

Упростить выражение $2a^2 b-4ab^2-5a^2 b+10ab^2$

Решение:

В данном многочлене найдем слагаемые с одинаковой буквенной частью ($2a^2 b$ и $-5a^2 b; -4ab^2$ и $10ab^2$)- это и будут подобные слагаемые, которые можно сложить между собой.

При сложении подобных слагаемых, складываются только коэффициенты, буквенная часть остается прежней.

$2a^2 b-5a^2 b=-3a^2 b$

$-4ab^2+10ab^2=6ab^2$

В результате получаем $-3a^2 b+6ab^2$

Ответ: $-3a^2 b+6ab^2$

  • Чтобы умножить (разделить) многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить (разделить) на одночлен и полученный результат сложить.
  • Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить.

Пример:

Выполните умножение $(2xy-7xy^2)(4y^2+2x^2 y)$

Решение:

Умножение выполняем по схеме

Т.е. сначала берем первое слагаемое из первой скобки и умножаем по очереди на слагаемые из второй скобки, потом то же самое проделываем со вторым слагаемым из первой скобки

$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y$

В каждом полученном слагаемом сначала умножаем коэффициенты, а потом буквенную часть по правилам степеней.

$2xy·4y^2+2xy·2x^2 y-7xy^2·4y^2-7xy^2·2x^2 y=8xy^3+4x^3 y^2-28xy^4-14x^3 y^3$

Подобных слагаемых при умножении не получили, поэтому данное выражение является результатом.

  • Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все слагаемые, стоящие в скобках, с их знаками. $a+(b-c)=a+b-c$
  • Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать с противоположными знаками (уже без скобок) все слагаемые, ранее стоящие в скобках. $a-(b-c)=a-b+c$

Формулы сокращенного умножения

  1. Квадрат суммы раскладывается на квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  2. Квадрат разности раскладывается на квадрат первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе и плюс квадрат второго числа. $(a-b)2=a^2-2ab+b^2$
  3. Разность квадратов раскладывается на произведение разности чисел и их сумму. $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
  4. Куб суммы равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа плюс куб второго числа. $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
  5. Куб разности равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого на второе число плюс утроенное произведение первого на квадрат второго числа и минус куб второго числа. $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
  6. Сумма кубов равна произведению суммы чисел на неполный квадрат разности. $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
  7. Разность кубов равна произведению разности чисел на неполный квадрат суммы. $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на множители означает преобразовать его в произведение нескольких множителей (одночленов и скобок, в которых находятся многочлены).

Способы разложения на множители:

  • Вынесение общего множителя за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители путем вынесения за скобки общего множителя надо:

  1. Определить общий множитель.
  2. Разделить на него данный многочлен.
  3. Записать произведение общего множителя и полученного частного (заключив это частное в скобки).

Пример:

Разложить на множители многочлен: $10a^3 b-8a^2 b^2+2a.$

Общий множитель у данного многочлена $2а$, так как на $2$ и на «а» делятся все члены. Далее найдем частное от деления исходного многочлена на «2а», получаем:

$10a^3 b-8a^2 b^2+2а=2a({10a^3 b}/{2a}-{8a^2 b^2}/{2a}+{2a}/{2a})=2a(5a^2 b-4ab^2+1)$

Это и есть конечный результат разложения на множители.

  • Применение формул сокращенного умножения.
  • Метод группировки.

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак $+$ и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками.

$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a^3-a^2 )+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведение данных скобок - это конечный результат разложения на множители.

  • С помощью формулы квадратного трехчлена.

Если имеется квадратный трехчлен вида $ax^2+bx+c$, то его можно разложить по формуле

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ - корни квадратного трехчлена

Рациональные дроби

Выражение, представляющее собой дробь, знаменатель которого буквенное выражение, называется рациональной дробью.

В рациональных дробях буквы, входящие в числитель могут принимать любые значения, а буквы, стоящие в знаменателе не должны обращать в ноль знаменатель, поэтому говорят, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля выражение или число, то дробь не изменится.

${а}/{с}={а·Р}/{с·Р}, Р≠0$

  • Чтобы сократить рациональную дробь, обязательно нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то дробь несократима.
  • Алгоритм сложения и вычитания рациональных дробей:
  1. Разложить знаменатель каждой дроби на множители.
  2. Найти НОЗ.
  3. Найти дополнительные множители, путем деления общего знаменателя, на знаменатель каждой дроби.
  4. Умножить числитель каждой дроби на свой дополнительный множитель.
  5. Привести подобные слагаемые в числителе.
  6. Разложить числитель на множители.
  7. Сократить дробь.

Пример:

Найдите значение выражения $(9x^2-25)·({1}/{3x-5}-{1}/{3x+5})$

Решение:

1. Выполним вычитание дробей в скобках, общий знаменатель $(3х-5)(3х+5)$, тогда к первой дроби дополнительный множитель $(3х+5)$, а ко второй дроби $(3х-5)$.

${1}/{3x-5}-{1}/{3x+5}={3х+5-(3х-5)}/{(3х-5)(3х+5)}={3х+5-3х+5}/{(3х-5)(3х+5)}={10}/{(3х-5)(3х+5)}$

2. Выполним умножение

${(9x^2-25)·10}/{(3х-5)(3х+5)}$, для этого первое выражение надо разложить на множители, выполнить умножение и сократить дробь.

${(3х-5)(3х+5)·10}/{(3х-5)(3х+5)}=10$

Ответ: $10$

  • Алгоритм умножения рациональных дробей:
  1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
  2. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
  3. Сократить дробь.
  • Алгоритм деления рациональных дробей:
  1. Разложить числители и знаменатели всех дробей, участвующих в умножении, на множители.
  2. Заменить деление умножением, при этом вторую дробь перевернуть.
  3. Перемножить отдельно их числители и их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем произведения.
  4. Сократить дробь.

Твой план подготовки к ЕГЭ 2017 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?