Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Пирамида

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) - треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

$SO$ - высота

Связь между сторонами правильного n-угольника и радиусами описанной и вписанной окружностей :

$АВ=an$ - сторона правильного многоугольника

$R$ - радиус описанной окружности

$r$ - радиус вписанной окружности

$n$ - количество сторон и углов

$a_n=2·R·sin {180°}/{n};$

$r=R·cos{180°}/{n};$

$a_n=2·r·tg{180°}/{n}.$

В зависимости от многоугольника, лежащего в основании, пирамиды могут быть треугольными, четырехугольными и т.д.

У треугольной пирамиды есть еще одно название – тетраэдр (четырехгранник).

Формулы вычисления объема и площади поверхности произвольной пирамиды.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_{осн}$ -периметр основания;

$S_{осн}$ - площадь основания;

$S_{бок}$ - площадь боковой поверхности;

$S_{п.п}$ - площадь полной поверхности;

$V$ - объем.

В произвольной пирамиде боковые грани могут быть разными треугольниками, поэтому площадь боковой поверхности равна сумме площадей всех боковых граней, найденных по отдельности.

$S_{бок}=∑↖{n}S_{бок.граней}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3} S_{осн}·h$

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник

Площадь треугольника

  1. $S={a·h_a}/{2}$, где $h_a$ - высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S={a·b·sin⁡α}/{2}$, где $a,b$ - соседние стороны, $α$ - угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $р$ - это полупериметр $p={a+b+c}/{2}$
  4. $S=p·r$, где $r$ - радиус вписанной окружности
  5. $S={a·b·c}/{4R}$, где $R$ - радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S={a·b}/{2}$, где $а$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ - смежные стороны.

Ромб

$S={d_1·d_2}/{2}$, где $d_1$ и $d_2$ - диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ - длина стороны ромба, а $α$ - угол между соседними сторонами.

Трапеция

$S={(a+b)·h}/{2}$, где $а$ и $b$ - основания трапеции, $h$ - высота трапеции.

Пирамида называется правильной, если в ее основании лежит правильный многоугольник, а ее высота приходит в центр основания (в центр описанной окружности). Все боковые ребра правильной пирамиды равны, следовательно, все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Формулы вычисления объема и площади поверхности правильной пирамиды.

$h_a$- высота боковой грани (апофема)

$S_{бок}={P_осн·h_a}/{2}$

$S_{п.п}=S_{бок}+S_{осн}$

$V={1}/{3} S_{осн}·h$

В основании лежат правильные многоугольники, рассмотрим их площади:

  1. Для равностороннего треугольника $S={a^2 √3}/{4}$, где $а$ - длина стороны.
  2. Квадрат $S=a^2$, где $а$ - сторона квадрата.
  3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

$S=6·S_{треугольника}={6·a^2 √3}/{4}={3·a^2 √3}/{2}$, где $а$ - сторона правильного шестиугольника.

Пример:

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $10$, а высота равна $5√3$.

Решение:

Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту:

$V={1}/{3} S_{осн}·h$

Так как пирамида правильная, то в основании у нее лежит равносторонний треугольник, найдем его площадь по формуле:

$S_{основания}={a^2 √3}/{4}={10^2·√3}/{4}=25√3$

Подставим все данные в формулу объема и вычислим его:

$V={1}/{3} S_{осн}·h={25√3·5√3}/{3}={25·5·3}/{3}=25·5=125$

Ответ: $125$

Подобные пирамиды: при увеличении всех линейных размеров пирамиды в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?