Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ

Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды

или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Информатика
География
ОГЭ

Координаты

Координатная плоскость состоит из двух взаимно перпендикулярных координатных прямых. Началом отсчета на обеих прямых принято считать точку их пересечения (точку $О$). Горизонтальная ось $О_х$ называется абсциссой, вертикальная ось $О_у$ - ординатой.

У каждой точки на плоскости есть две координаты, в скобках на первом месте всегда стоит координата $Х$, на втором $Y$, например $М(2;3)$ – читается: точка $М$ имеет координату $х=2$, координату $у=3$.Симметрия точек относительно осей координат:

  1. У точек, симметричных относительно оси $О_х$ абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.
  2. У точек, симметричных относительно оси $О_у$ ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.

Векторы и отрезки в координатах:

1. Координаты вектора равны разностям соответствующих координат конца и начала данного вектора.

2. Координаты середины отрезка (вектора) равны среднему арифметическому координат его концов.

Пример:

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Решение:

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

$М(х)={2+6}/{2}=4$.

Ответ: $4$

3. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

4. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

5. Длинна отрезка или расстояние между двумя точками $M_1(x_1;y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$ находится по формуле

$|M_1M_2|= √{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Пример:

Найдите длину отрезка, соединяющего точки $A(5,-8)$ и $C(-3,-2)$.

Решение:

Применим формулу нахождения длины отрезка

$|АС|=√{(-3-5)^2+(-2+8)^2}=√{64+36}=√{100}=10$.

Ответ: $10$

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

$R={d}/{2}$

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ - противолежащий катет; $ВС$ - прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ - противолежащий катет; $АС$ - прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Пример:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

$sin ⁡B={AC}/{AB};$

$cos ⁡B={BC}/{AB};$

$tg B={AC}/{BC};$

$ctg B={BC}/{AC}.$

Признаки подобия треугольников:

  1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
  2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между ними равны, то такие треугольники подобны.
  3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты

Как подготовиться к ЕГЭ по математике (профильной)?