Регистрация Войти
Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ
Готовься к ЕГЭ по персональному плану, следи за своим прогрессом, устраняй пробелы, выполняй квесты и получай награды
или
Войти через Вконтакте
Регистрируясь, я принимаю условия пользовательского соглашения
Русский язык
Математика
Обществознание
Физика
История
Биология
Химия
Английский язык
Информатика
География
ОГЭ

Преобразование иррациональных выражений

Выражения, содержащие знак радикала (корень), называются иррациональными.

Арифметическим корнем натуральной степени $n$ из неотрицательного числа а называется некоторое неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получается число $а$.

$(√^n{a})^n=a$

В записи $√^n{a}$, «а» называется подкоренным числом, $n$ - показателем корня или радикала.

Свойства корней $n$-ой степени при $а≥0$ и $b≥0$:

1. Корень произведения равен произведению корней

$√^n{a∙b}=√^n{a}∙√^n{b}$

Пример:

Вычислить $√^5{5}∙√^5{625}$

Решение:

Корень произведения равен произведению корней и наоборот: произведение корней с одинаковым показателем корня равно корню из произведения подкоренных выражений

$√^n{a}∙√^n{b}=√^n{a∙b}$

$√^5{5}∙√^5{625}=√^5{5∙625}=√^5{5∙5^4}=√^5{5^5}=5$

Ответ: $5$

2. Корень из дроби – это отдельно корень из числителя, отдельно из знаменателя

$√^n{{a}/{b}}={√^n{a}}/{√^n{b}}$, при $b≠0$

3. При возведении корня в степень, в эту степень возводится подкоренное выражение

$(√^n{a})^k=√^n{a^k}$

4. Если $а≥0$ и $n,k$ - натуральные числа, больше $1$, то справедливо равенство.

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

5. Если показатели корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится.

$√^{n∙m}a^{k∙m}=√^n{a^k}$

6. Корень нечетной степени можно извлекать из положительных и отрицательных чисел, а корень четной степени – только из положительных.

7. Любой корень можно представить в виде степени с дробным (рациональным) показателем.

$√^n{a^k}=a^{{k}/{n}}$

Пример:

Найдите значение выражения ${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}$ при $с>0$

Решение:

Корень произведения равен произведению корней

${√{9∙√^11{с}}}/{√^11{2048∙√с}}={√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}$

Корни из чисел мы можем извлечь сразу

${√9∙√{√^11{с}}}/{√^11{2048}∙√^11{√с}}={3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}$

Далее применим формулу

$√^n{√^k{a}}=√^{n∙k}a$

${3∙√{√^11{с}}}/{2∙√^11{√с}}={3∙√^22{с}}/{2∙√^22{с}}$

Корни $22$ степени из $с$ мы сокращаем и получаем ${3}/{2}=1,5$

Ответ: $1,5$

Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

Пример:

Найдите значение выражения $√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}$ при $7 < c < 9$

Решение:

Если над корнем не стоит показатель, то это означает, что мы работаем с квадратным корнем. Его показатель равен двум, т.е. четный. Если у радикала с четным показателем степени мы не знаем знак подкоренного выражения, то при извлечении корня выходит модуль подкоренного выражения.

$√{(с-7)^2}+√{(с-9)^2}=|c-7|+|c-9|$

Определим знак выражения, стоящего под знаком модуля, исходя из условия $7 < c < 9$

Для проверки возьмем любое число из заданного промежутка, например, $8$

Проверим знак каждого модуля

$8-7>0$

$8-9<0$, при раскрытии модуля пользуемся правилом: модуль положительного числа равен самому себе, отрицательного числа - равен противоположному значению. Так как у второго модуля знак отрицательный, при раскрытии меняем знак перед модулем на противоположный.

$|c-7|+|c-9|=(с-7)-(с-9)=с-7-с+9=2$

Ответ: $2$

Свойства степеней с рациональным показателем:

1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели складываются.

$a^n∙a^m=a^{n+m}$

2. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются

$(a^n)^m=a^{n∙m}$


3. При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель


$(a∙b)^n=a^n∙b^n$



4. При возведении в степень дроби в эту степень возводиться числитель и знаменатель

$({a}/{b})^n={a^n}/{b^n}$

Твой план подготовки к ЕГЭ 2018 почти готов

Построить свой план

всего за 3 минуты