Зарегистрироваться Войти через вк

Бесплатный интенсив по математике (профильной)

3 огненных вебинара, домашние задания, беседа курса, личный кабинет, связь с преподавателем и многое другое.
Курс стартует 21 июля.

Задание 18 из ЕГЭ по математике (профильной)

Тема: «Свойства чисел»

За это задание вы можете получить 4 балла на ЕГЭ в 2023 году
Разбор сложных заданий в тг-канале:
Задача 1

$10$ человек стоят по кругу, все они разного возраста. Каждый сказал: «Я старше обоих своих соседей». а) Могло ли оказаться так, что все сказали правду? б) Могло ли оказаться так, чт…

Задача 2

Последовательность натуральных чисел: $1, 3, 6, 10, 15, …$ задана формулой $a_n={1} / {2}n(n+1)$. Можно ли среди а) её членов, меньших числа $100$, выбрать семь чисел так, чтобы одно из …

Задача 3

Дана последовательность квадратов натуральных чисел: $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36, …$ . Можно ли среди: а) первых десяти её членов выбрать шесть чисел так, чтобы одно из них равнялось сумме …

Задача 4

При проведении школьной математической олимпиады итоговая сумма баллов составляется из трёх баллов за участие, $17$ баллов за каждую взятую и решённую задачу и $(-8)$ баллов за каждую …

Задача 5

При проведении школьной математической олимпиады итоговая сумма баллов составляется из двух баллов за участие, $13$ баллов за каждую взятую и решённую задачу и $(-8)$ баллов за каждую …

Задача 6

На доске выписаны числа $7$ и $9$. За один ход выписанные числа $a$ и $b$ нужно заменить числами $(a+b-1)$ и $(2b+4)$. Например, из чисел $7$ и $9$ можно получить либо числа $15$ и $18$, либо числа $15$ …

Задача 7

На доске написаны числа $4$ и $6$. За один ход выписанные числа $a$ и $b$ заменяются числами ($2a+2$) и ($a+b+1$). Например, за один ход из чисел $4$ и $6$ можно получить $10$ и $11$ либо $14$ и $11$. а) …

Задача 8

Имеется прямоугольная таблица размером $M×N$, заполненная числами 0 и 1, обладающая следующими свойствами. Во-первых, в каждой строке и в каждом столбце есть хотя бы один элемент, ра…

Задача 9

Учитель задумал несколько различных целых чисел и выписал набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д. слагаемых) на доске в порядке неубывания. Например, если бы о…

Задача 10

Учитель задумал несколько различных целых чисел и выписал набор этих чисел и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д. слагаемых) на доске в порядке неубывания. Например, если бы о…

Задача 11

Света задумала трёхзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 40?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть…

Задача 12

Кристина задумала трёхзначное натуральное число.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 3?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 28?

в)…

Задача 13

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, . . . , a_n, . . .$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, . . . , a_7$ …

Задача 14

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1, a_2, . . . , a_n, . . .$ состоит из различных натуральных чисел.

а) Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1, a_2, . . . , a_7$ …

Задача 15

Можно ли в бесконечно убывающей последовательности $1; {1} /{2} ; {1}/ {3} ; {1} /{4} ; {1}/ {5} ;. . .$ выбрать:

а) четыре числа;

б) сто чисел;

в) бесконечное множество чисел, котор…

Задача 16

Можно ли в бесконечно убывающей последовательности $1; {1}/ {2} ; {1}/{3} ; {1}/{4} ; {1}/ {5} ; . . .$ выбрать:

а) пять чисел;

б) пятьдесят чисел;

в) бесконечное множество чисел, ко…

Задача 17

Существуют ли такие восемьсот различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя

а) ровно в 500 раз;

б) ровно в 400 раз?

в) Найдите на…

Задача 18

Существуют ли такие восемь различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя

а) ровно в шесть раз;

б) ровно в пять раз;

в) ровно в че…

Задача 19

На доске написано более 27, но менее 45 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 11, среднее арифметическое всех положительных из них равно 18, а среднее арифметическое…

Задача 20

На доске написано более 20, но менее 30 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно -3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 5, а среднее арифметическое …

1 2 3

Основная тема для номера восемнадцать — «Числа и их свойства». Вопросы с экзаменационных билетов возможно будут такими: «Дано 3-значное натуральное число, которое не будет кратно 10. Может ли его частное быть равным 9? Или 8? Какое наибольшее натуральное значение возможно, чтобы имелось частное данного числа?». Некоторые варианты поданы в виде мини-задач: «Гайки можно разложить в пакетики, и их упаковать по три штуки в коробки. Второй вариант — разложить их же в пакетики так, но в каждый положить на три больше, чем ранее. Тогда пакеты упаковываются в коробки по два в каждую, а самих коробок потребуется на две штуки больше. Рассчитайте максимально возможное количество гаек при таких условиях?»

Часть вопросов задания 18 составлена по теме «Числовые наборы на карточках». Эти задачи, по мнению выпускников прошлых лет, достаточно сложные: «На доске записано 7. Вы дописываете рядом новые числа, которые либо в два раза больше любого из ранее написанных, либо равняются сумме двух любых ранее записанных чисел. Может ли среди представленных быть 2012? Или сумма всех данных чисел равняться 63? Если каждое новое число дописывать один раз в минуту, то через какое минимальное количество минут на доске сможет появиться 784?»

«Последовательности и прогрессии» — еще одна формулировка номера восемнадцать. Пример вопроса: «Все члены геометрической прогрессии — натуральные в интервале между 510 и 740 включительно. Может ли в этой прогрессии быть всего четыре члена? А пять?». Отдельно в этом экзаменационном билете рассматриваются сюжетные задачи: кино, театр, мотки веревки. Они вызывают наибольший интерес у выпускников, но одновременно являются и самыми сложными.