Задание 18 из ЕГЭ по математике (профильной)
Тема: «Задачи с параметром»
Через точку $(a, f(a))$ графика функции $f(x) = -x^2 +8x-16$ (где значение параметра $a ∈(0, 4))$ проведена касательная к графику, пересекающаяся с осями координат в точках A и B. При ка…
При каких значениях параметра $a$ система
$\{\table\15{|x - 2|} + 8{|y + 3|} = 120; \x^2 - 4a^2 + 2y + 5 = 4(x - 1) - (y + 2)^2;$
имеет ровно $4$ решения?
При каких значениях параметра $a$ система
$\{\table\5{|x|} + 12{|y - 2|} = 60; \y^2 - a^2 = 4(y - 1) - x^2;$
имеет ровно $4$ решения?
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение $x^3 - x^2 - x log_2(a - 1) + 12 = 0$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 3]$.
Найдите все значения параметра $а$, при каждом из которых уравнение $x^3 + 3x^2 - x log_3(a + 1) + 5 = 0$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 2]$.
При каких значениях a система уравнений имеет ровно четыре решения?
$\{\table{{|{|x|}-3|}+{|y-5|}}=4; {{|x-2|}+{|y-1|}}=a;$
При каких значениях $a$ система уравнений имеет ровно два решения?
$\{\table\ {||x|-5|+{|y-4|}}=3; {|x+2|}+{|y+1|}=a;$
При каких значениях параметра $a$ уравнение $√{√{x - a} - a} = x$ имеет единственное решение?
Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\table\√{(x-a)^2+y^2}+√{x^2+(y+1)^2}=√{a^2+1}; \3x={|a^2-4|};$
имеет единственное решение.
Найдите все неотрицательные значения $a$, при каждом из которых система уравнений
$\{\table\√{(x-3)^2+y^2}+√{x^2+(y-a)^2}=√{a^2+9}; \y={|2-a^2|};$
имеет единственное решение.
Найдите все значения a, при каждом из которых система неравенств $\{\table\(a - x^2)(a + x - 2) < 0; \x^2 ≤ 1;$ не имеет решений.
При каких значениях параметра a система $\{\table\axy+x-y+0.5=0; \x+y+xy+2=0;$ имеет единственное решение?
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых решение неравенства ${(x - a)(a - 3√x)}/ {√{12 - x - 2a}} ≥ 0$ содержит отрезок длиной не менее $2$.
При каких значениях параметра $a$ система
$\{\table\x^2+y^2+84=a^2+18x; \ {||x-8|-|x-6||}=y;$
имеет не менее трёх решений.
При каких значениях параметра $a$ система
$\{\table\x^2+y^2+9=a^2+4x; \ {||x-3|-|x-6||}=y;$
имеет не менее трёх решений.
При каких значениях параметра $a$ система
$\{\table\y≥-{|x-2cosπa|}; \(x-sin2πa)^2+(y-6a)^2=-99a;$
имеет ровно два решения?
При каких значениях параметра $a$ система $\{\table\y≥-{|x-2sinπα|}; \(x-sin2πα)^2+(y-4a)^2={2a^4}/{25};$ имеет ровно два решения?
При каких значениях параметра $a$ система $\{\table\x-√3{|y|}=0; \(x-2a)^2+(y-cosπa)^2≤(5a-21)^2;$ имеет ровно два решения?
При каких значениях параметра $a$ система $\{\table\y={|x|}; \(x-sinπa)^2+(y-a)^2≤a;$ имеет ровно два решения?
Планиметрическая задача будет лежать в основе задания 18 ЕГЭ по математике. Составители тестов включили в варианты экзаменационного билета сразу несколько тем из учебной программы по геометрии, причем типы задач могут быть различными. Так, в теме «Многоугольники и их свойства» вас попросят найти сторону геометрической фигуры или длину отрезка прямой, заключенного внутри одного из углов многоугольника. Другие мини-задачи попросят вас найти размер высоты фигуры, ее площадь, периметр. Есть и сложные составные задачи: «1. Докажите, что площадь шестиугольника A1B2C1A2B1C2 вдвое меньше площади треугольника ABC. 2. Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника».
Окружности и треугольники совмещены в задании 18 ЕГЭ по математике в одну тему. Задачи в ней встречаются как сложные, составные (1. Докажите, что длина отрезка внутренней касательной, проведенной из вершины острого угла треугольника до одной из окружностей, равна половине периметра треугольника АСВ. 2. Найдите площадь треугольника АСВ».), так и элементарные на вычисление площадей фигур, сторон треугольника, радиусов и диаметров окружности. Похожи на эту темы и варианты задания «Окружности и четырёхугольники».
Тема «Окружности и системы окружностей» содержат вопросы о вычислении значений элементов фигур, образованных в результате касания двух окружностей. Часть вопросов посвящена вписанным и описанным окружностям – в этом случае вы чаще всего будете определять их радиусы, диаметры, длины, площади».
Задачи на доказательство и вычисление также могут встретиться в задании № 18 ЕГЭ по математике. В основном, вам придется доказывать параллельность двух прямых или равенство двух углов. Вторым действием задачи будет вычисление значения угла, длины отрезка или радиуса окружности.
