Задание 19 из ЕГЭ по математике (профиль): задача 40
При проведении школьной математической олимпиады итоговая сумма баллов составляется из трёх баллов за участие, $17$ баллов за каждую взятую и решённую задачу и $(-8)$ баллов за каждую взятую и нерешённую задачу. Каждую задачу участник выбирает себе самостоятельно в запечатанном конверте. Число задач, предлагаемых для решения, не ограничено. а) У одного из участников, решившего $m$ задач и не решившего $n$ задач, итоговая сумма оказалась равной $t$ баллов. Найдите итоговую сумму участника, решившего $3m$ задач и не решившего $3n$ задач. б) Какое минимальное число задач надо взять, чтобы итоговая сумма оказалась равной нулю? в) Докажите, что если итоговая сумма у двух участников оказалась одинаковой, то разность между числом всех задач, взятых для решения одним участником, и числом задач, взятых для решения другим участником, делится на $25$.
Объект авторского права ООО «Легион»
Вместе с этой задачей также решают:
Существуют ли такие восемь различных натуральных чисел, что их среднее арифметическое больше их наибольшего общего делителя
а) ровно в шесть раз;
б) ровно в пять раз;
в) ровно в че…
Олег задумал трёхзначное натуральное число $n$ и посчитал сумму его цифр $s$. а) Может ли $n⋅ s=3402$? б) Может ли $n⋅ s=6912$? в) Известно, что $n⋅ s>1786$. Найдите наименьшее возможное зна…
Можно ли в бесконечно убывающей последовательности $1; {1}/ {2} ; {1}/{3} ; {1}/{4} ; {1}/ {5} ; . . .$ выбрать:
а) пять чисел;
б) пятьдесят чисел;
в) бесконечное множество чисел, ко…
